【002】2020高考全国2卷理科数学第12题

【002】2020高考全国2卷理科数学第12题

年级:高二,高三
年份:2020
类型:一题一课,真题解析
题型:单选题
难度:★★★★
时长:3:37
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今天我们来说一说刚考过的全国2卷理科数学第12题。

【题002】12. 0-1周期序列在通信技术中有着重要应用。若序列a_1a_2\cdots a_n\cdots满足a_i\in \left\{ 0,1 \right\}i=1,2,\cdots),且存在正整数m,使得a_{i+m}=a_i\left( i=1,2,\cdots \right)成立,则称其为0-1周期序列,并称满足a_{i+m}=a_i\left( i=1,2,\cdots \right)的最小正整数m为这个序列的周期。对于周期为m的0-1序列a_1a_2\cdots a_n\cdotsC\left( k \right) =\dfrac{1}{m}\sum_{i=1}^m{a_ia_{i+k}}\left( k=1,2,\cdots ,m-1 \right)是描述其性质的重要指标,下列周期为5的0-1序列中,满足C\left( k \right) \leqslant \dfrac{1}{5}\left( k=1,2,3,4 \right)的序列是(   )

A. 11010\cdots      B. 11011\cdots      C. 10001\cdots     D. 11001\cdots

解:题意即为\dfrac{1}{5}\left( a_1a_{1+k}+a_2a_{2+k}+a_3a_{3+k}+a_4a_{4+k}+a_5a_{5+k} \right) \leqslant \dfrac{1}{5}

a_1a_{1+k}+a_2a_{2+k}+a_3a_{3+k}+a_4a_{4+k}+a_5a_{5+k}\leqslant 1,即:\left\{ \begin{array}{c}   a_1a_2+a_2a_3+a_3a_4+a_4a_5+a_5a_1\leqslant 1\\       a_1a_3+a_2a_4+a_3a_5+a_4a_1+a_5a_2\leqslant 1\\    a_1a_4+a_2a_5+a_3a_1+a_4a_2+a_5a_3\leqslant 1\\       a_1a_5+a_2a_1+a_3a_2+a_4a_3+a_5a_4\leqslant 1\\\end{array} \right.

这4个式子看起来很复杂,其实很简单:

我们先把a_1a_5排成一排,再每次向左移动1格轮换排列4次,最后把第1排中的每个数与第2到4排中对应的数相乘,再相加,如果小于等于1,即满足要求,如果其中一个结果大于1,则不满足。

显然我们可以首先尝试0的个数最多的序列,即C选项。

先把10001排到第1排,然后向左轮换移动1格,得到00011排到第2排,再移1格得到00110排到第3排,同理可得第4排为01100,第5排为11000,把第1排与第2排对应的数相乘再相加,结果为1;与第3排计算结果为0;与第4排的结果为0,与第5排的结果为1。都满足要求,所以本题选C。同学们也可以按照这个方法去检验一下ABD选项。

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