【004】2020高考全国2卷理科数学第21题

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2020高考全国2卷理科数学第21题

【004】已知函数 $f\left( x \right) =\sin ^2x\sin 2x$ 。

（1）讨论 $f\left( x \right)$ 在 $\left( 0,\pi \right)$ 上的单调性；

（2）证明： $\left| f\left( x \right) \right|\leqslant \dfrac{3\sqrt{3}}{8}$

（3）证明： $\sin ^2x\sin ^22x\sin ^24x\cdots \sin ^22^nx\leqslant \dfrac{3^n}{4^n}$ 。

解：（1） $f'\left( x \right) =2\sin x\cos x\cdot \sin 2x+2\sin ^2x\cos 2x$ $=2\sin ^2x\left( 2\cos ^2x+\cos 2x \right)$

$=2\sin ^2x\left( 2\cos 2x+1 \right)$

∴当 $x\in \left( 0,\dfrac{\pi}{3} \right)$ ， $x\in \left( \dfrac{2\pi}{3},\pi \right)$ 时， $f'\left( x \right) >0$ ， $f\left( x \right)$ 单调递增；当 $x\in \left( \dfrac{\pi}{3},\dfrac{2\pi}{3} \right)$ 时， $f'\left( x \right) <0$ ， $f\left( x \right)$ 单调递减。

（2）显然 $f\left( x+\pi \right) =f\left( x \right)$ ，即 $f\left( x \right)$ 是以 $\pi$ 为周期的周期函数。

由(1)知， $f\left( x \right)$ 在 $\left( 0,\dfrac{\pi}{3} \right)$ 上递增，在 $\left( \dfrac{\pi}{3},\dfrac{2\pi}{3} \right)$ 上递减，在 $\left( \dfrac{2\pi}{3},\pi \right)$ 上递增，且 $f\left( 0 \right) =f\left( \pi \right) =0$ ， $f\left( \dfrac{\pi}{3} \right) =\dfrac{3\sqrt{3}}{8}$ ， $f\left( \dfrac{2\pi}{3} \right) =-\dfrac{3\sqrt{3}}{8}$ ，所以 $\left| f\left( x \right) \right|\leqslant \dfrac{3\sqrt{3}}{8}$ 。

（3）由（2）知： $\left| \sin ^2x\sin 2x \right|\leqslant \dfrac{3\sqrt{3}}{8}$ ，∴ $\left| \sin ^22x\sin 4x \right|\leqslant \dfrac{3\sqrt{3}}{8}$ ，

$\left| \sin ^24x\sin 8x \right|\leqslant \dfrac{3\sqrt{3}}{8}$ ，……， $\left| \sin ^22^{n-1}x\sin 2^nx \right|\leqslant \dfrac{3\sqrt{3}}{8}$

由于以上 $n$ 个不等式左右两边都是非负数，可以相乘得到：

$\left| \sin ^2x\sin ^32x\sin ^34x\cdots \sin ^32^{n-1}x\sin 2^nx \right|\leqslant \left( \dfrac{3\sqrt{3}}{8} \right) ^n$

∴ $\left| \sin ^3x\sin ^32x\sin ^34x\cdots \sin ^32^{n-1}x\sin ^32^nx \right|$

$=\left| \sin x \right|\cdot \left| \sin ^2x\sin ^32x\sin ^34x\cdots \sin ^32^{n-1}x\sin 2^nx \right|\cdot \left| \sin ^22^nx \right|$ $\leqslant \left( \dfrac{3\sqrt{3}}{8} \right) ^n$ $=\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) ^{3n}$

∴ $\sin ^2x\sin ^22x\sin ^24x\cdots \sin ^22^nx$

$=\left| \sin ^3x\sin ^32x\sin ^34x\cdots \sin ^32^{n-1}x\sin ^32^nx \right|^{\frac{2}{3}}$ $\leqslant \left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) ^{3n\cdot \frac{2}{3}}=\left( \dfrac{3}{4} \right) ^n$

详细解答请看视频讲解，电子版文档请下载。

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