【004】2020高考全国2卷理科数学第21题

【004】2020高考全国2卷理科数学第21题

年级:高二,高三
年份:2020
类型:一题一课,真题解析
题型:解答题
难度:★★★★
时长:05:34
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2020高考全国2卷理科数学第21题

【004】已知函数f\left( x \right) =\sin ^2x\sin 2x

(1)讨论f\left( x \right)\left( 0,\pi \right)上的单调性;

(2)证明:\left| f\left( x \right) \right|\leqslant \dfrac{3\sqrt{3}}{8}

(3)证明:\sin ^2x\sin ^22x\sin ^24x\cdots \sin ^22^nx\leqslant \dfrac{3^n}{4^n}

解:(1)f'\left( x \right) =2\sin x\cos x\cdot \sin 2x+2\sin ^2x\cos 2x =2\sin ^2x\left( 2\cos ^2x+\cos 2x \right)

=2\sin ^2x\left( 2\cos 2x+1 \right)

∴当x\in \left( 0,\dfrac{\pi}{3} \right)x\in \left( \dfrac{2\pi}{3},\pi \right)时,f'\left( x \right) >0f\left( x \right)单调递增;当x\in \left( \dfrac{\pi}{3},\dfrac{2\pi}{3} \right)时,f'\left( x \right) <0f\left( x \right)单调递减。

(2)显然f\left( x+\pi \right) =f\left( x \right),即f\left( x \right)是以\pi为周期的周期函数。

由(1)知, f\left( x \right)\left( 0,\dfrac{\pi}{3} \right)上递增,在\left( \dfrac{\pi}{3},\dfrac{2\pi}{3} \right)上递减,在\left( \dfrac{2\pi}{3},\pi \right)上递增,且f\left( 0 \right) =f\left( \pi \right) =0f\left( \dfrac{\pi}{3} \right) =\dfrac{3\sqrt{3}}{8}f\left( \dfrac{2\pi}{3} \right) =-\dfrac{3\sqrt{3}}{8},所以\left| f\left( x \right) \right|\leqslant \dfrac{3\sqrt{3}}{8}

(3)由(2)知:\left| \sin ^2x\sin 2x \right|\leqslant \dfrac{3\sqrt{3}}{8},∴\left| \sin ^22x\sin 4x \right|\leqslant \dfrac{3\sqrt{3}}{8}

\left| \sin ^24x\sin 8x \right|\leqslant \dfrac{3\sqrt{3}}{8},……,\left| \sin ^22^{n-1}x\sin 2^nx \right|\leqslant \dfrac{3\sqrt{3}}{8}

由于以上n个不等式左右两边都是非负数,可以相乘得到:

\left| \sin ^2x\sin ^32x\sin ^34x\cdots \sin ^32^{n-1}x\sin 2^nx \right|\leqslant \left( \dfrac{3\sqrt{3}}{8} \right) ^n

\left| \sin ^3x\sin ^32x\sin ^34x\cdots \sin ^32^{n-1}x\sin ^32^nx \right|

=\left| \sin x \right|\cdot \left| \sin ^2x\sin ^32x\sin ^34x\cdots \sin ^32^{n-1}x\sin 2^nx \right|\cdot \left| \sin ^22^nx \right| \leqslant \left( \dfrac{3\sqrt{3}}{8} \right) ^n =\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) ^{3n}

\sin ^2x\sin ^22x\sin ^24x\cdots \sin ^22^nx

=\left| \sin ^3x\sin ^32x\sin ^34x\cdots \sin ^32^{n-1}x\sin ^32^nx \right|^{\frac{2}{3}} \leqslant \left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) ^{3n\cdot \frac{2}{3}}=\left( \dfrac{3}{4} \right) ^n

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