【005】2020高考全国2卷文科数学第12题（理数第11题）

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2020高考全国2卷文科数学第12题，也就是理科数学第11题。

12. 若 $2^x-2^y<3^{-x}-3^{-y}$ ，则（）

A. $\ln \left( y-x+1 \right) >0$

B. $\ln \left( y-x+1 \right) <0$

C. $\ln \left| x-y \right|>0$

D. $\ln \left| x-y \right|<0$

解：由 $2^x-2^y<3^{-x}-3^{-y}$ 移项得： $2^x-3^{-x}<2^y-3^{-y}$

两边结构相同，所以可以构造函数： $f\left( x \right) =2^x-3^{-x}$ ，因为 $2^x$ 在 $R$ 上单调递增， $3^{-x}$ 在 $R$ 上单调递减，所以 $f\left( x \right)$ 在 $R$ 上单调递增，所以由 $f\left( x \right) <f\left( y \right)$ 知： $x<y$

从而 $y-x+1>1$ ， $\ln \left( y-x+1 \right) >0$ ，选A。

像本题这样，先移项，后构造函数，然后通过单调性解题的题目，很多同学应该是做过的，这里再举一例，给来年高考的同学以参考。

【相似题】

已知当 $m\text{,}n\in \left[ -1,1 \right]$ 时， $\sin \dfrac{\pi m}{2}-\sin \dfrac{\pi n}{2}<n^3-m^3$ ，则以下判断正确的是（）

A. $m>n$

B. $\left| m \right|<\left| n \right|$

C. $m<n$

D. $m$ 与 $n$ 的大小关系不确定

同样地，由 $\sin \dfrac{\pi m}{2}-\sin \dfrac{\pi n}{2}<n^3-m^3$ ，移项得到： $\sin \dfrac{\pi m}{2}+m^3<\sin \dfrac{\pi n}{2}+n^3$

两边的结构也是一样的，很容易联想到构造函数。

令 $f\left( x \right) =\sin \dfrac{\pi x}{2}+x^3\left( -1\leqslant x\leqslant 1 \right)$ ，则 $f'\left( x \right) =\dfrac{\pi}{2}\cos \dfrac{\pi x}{2}+3x^2$ ，由于 $-1\leqslant x\leqslant 1$ ，所以 $-\dfrac{\pi}{2}\leqslant \dfrac{\pi x}{2}\leqslant \dfrac{\pi}{2}$ ， $\cos \dfrac{\pi x}{2}\geqslant 0$ ，又因为 $3x^2\geqslant 0$ （不同时取等），∴ $f'\left( x \right) >0$ ， $f\left( x \right)$ 在 $\left[ -1,1 \right]$ 上单调递增。所以从 $f\left( m \right) <f\left( n \right)$ 可以得到 $m<n$ ，选C。