【005】2020高考全国2卷文科数学第12题(理数第11题)

【005】2020高考全国2卷文科数学第12题(理数第11题)

年级:高一,高二,高三
年份:2020
类型:一题一课,真题解析
题型:单选题
难度:★★★
时长:03:23
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2020高考全国2卷文科数学第12题,也就是理科数学第11题。

12. 若2^x-2^y<3^{-x}-3^{-y},则( )

A. \ln \left( y-x+1 \right) >0

B. \ln \left( y-x+1 \right) <0

C. \ln \left| x-y \right|>0

D. \ln \left| x-y \right|<0

解:2^x-2^y<3^{-x}-3^{-y}移项得:2^x-3^{-x}<2^y-3^{-y}

两边结构相同,所以可以构造函数:f\left( x \right) =2^x-3^{-x},因为2^xR上单调递增,3^{-x}R上单调递减,所以f\left( x \right)R上单调递增,所以由f\left( x \right) <f\left( y \right)知:x<y

从而y-x+1>1\ln \left( y-x+1 \right) >0,选A。

像本题这样,先移项,后构造函数,然后通过单调性解题的题目,很多同学应该是做过的,这里再举一例,给来年高考的同学以参考。

【相似题】

已知当m\text{,}n\in \left[ -1,1 \right]时,\sin \dfrac{\pi m}{2}-\sin \dfrac{\pi n}{2}<n^3-m^3,则以下判断正确的是(   )

A. m>n

B. \left| m \right|<\left| n \right|

C. m<n

D. mn的大小关系不确定

同样地,由\sin \dfrac{\pi m}{2}-\sin \dfrac{\pi n}{2}<n^3-m^3,移项得到:\sin \dfrac{\pi m}{2}+m^3<\sin \dfrac{\pi n}{2}+n^3

两边的结构也是一样的,很容易联想到构造函数。

f\left( x \right) =\sin \dfrac{\pi x}{2}+x^3\left( -1\leqslant x\leqslant 1 \right),则f'\left( x \right) =\dfrac{\pi}{2}\cos \dfrac{\pi x}{2}+3x^2,由于-1\leqslant x\leqslant 1,所以-\dfrac{\pi}{2}\leqslant \dfrac{\pi x}{2}\leqslant \dfrac{\pi}{2}\cos \dfrac{\pi x}{2}\geqslant 0,又因为3x^2\geqslant 0(不同时取等),∴f'\left( x \right) >0f\left( x \right)\left[ -1,1 \right]上单调递增。所以从f\left( m \right) <f\left( n \right)可以得到m<n,选C。

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