【006】2020高考全国2卷文科数学第21题

【006】2020高考全国2卷文科数学第21题

年级:高三
年份:2020
类型:一题一课,真题解析
题型:解答题
难度:★★★
时长:03:44
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2020高考真题解析:全国2卷文科数学第21题

  1. 已知函数f\left( x \right) =2\ln x+1

(1)若f\left( x \right) \leqslant 2x+c,求c的取值范围;

(2)设a>0,讨论函数g\left( x \right) =\dfrac{f\left( x \right) -f\left( a \right)}{x-a}的单调性。

解:(1)f\left( x \right) \leqslant 2x+c,即c\geqslant 2\ln x-2x+1

h\left( x \right) =2\ln x-2x+1,则c\geqslant h\left( x \right) _{\max}h'\left( x \right) =\dfrac{2}{x}-2=\dfrac{2\left( 1-x \right)}{x}

则当x\in \left( 0,1 \right)时,h'\left( x \right) >0h\left( x \right)单调递增;当x\in \left( 1,+\infty \right)时,h'\left( x \right) <0h\left( x \right)单调递减,∴h\left( x \right) _{\max}=h\left( 1 \right) =-1,∴c\in \left[ -1,+\infty \right)

(2)g\left( x \right) =\dfrac{f\left( x \right) -f\left( a \right)}{x-a}=\dfrac{2\left( \ln x-\ln a \right)}{x-a}x\in \left( 0,a \right) \cup \left( a,+\infty \right)

g'\left( x \right) =\dfrac{2\left( 1-\dfrac{a}{x}+\ln \dfrac{a}{x} \right)}{\left( x-a \right) ^2},只需讨论1-\dfrac{a}{x}+\ln \dfrac{a}{x}的符号。

由(1)知2\ln x-2x+1\leqslant -1,即1-x+\ln x\leqslant 0,当且仅当x=1时等号成立

\dfrac{a}{x}\in \left( 0,1 \right) \cup \left( 1,+\infty \right),∴1-\dfrac{a}{x}+\ln \dfrac{a}{x}<0,从而g'\left( x \right) <0

所以g\left( x \right)在区间\left( 0,a \right)\left( a,+\infty \right)单调递减。

回顾本题,第1问,不等式恒成立问题,通过参变分离,转化成求函数的最值问题;第2问,讨论含参函数的单调性,先求导,再讨论符号不确定的部分,这些都是常规操作。事实上,这道题的两问都考查了一个非常常见的切线放缩结论\ln x\leqslant x-1。这个结论的几何意义是:对数函数y=\ln x的图像,恒在其在x=1处的切线y=x-1的下方。我们可以通过构造函数h\left( x \right) =\ln x-x+1,很容易证明这个结论。

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