【006】2020高考全国2卷文科数学第21题

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2020高考真题解析：全国2卷文科数学第21题

21. 已知函数。

（1）若，求的取值范围；

（2）设，讨论函数的单调性。

解：（1），即

令，则，

则当时，，单调递增；当时，，单调递减，∴，∴

（2），

，只需讨论的符号。

由（1）知，即，当且仅当时等号成立

而，∴，从而

所以在区间，单调递减。

回顾本题，第1问，不等式恒成立问题，通过参变分离，转化成求函数的最值问题；第2问，讨论含参函数的单调性，先求导，再讨论符号不确定的部分，这些都是常规操作。事实上，这道题的两问都考查了一个非常常见的切线放缩结论。这个结论的几何意义是：对数函数的图像，恒在其在处的切线的下方。我们可以通过构造函数，很容易证明这个结论。

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