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2020高考真题解析:全国2卷文科数学第21题
- 已知函数
。
(1)若,求
的取值范围;
(2)设,讨论函数
的单调性。
解:(1),即
令,则
,
则当时,
,
单调递增;当
时,
,
单调递减,∴
,∴
(2),
,只需讨论
的符号。
由(1)知,即
,当且仅当
时等号成立
而,∴
,从而
所以在区间
,
单调递减。
回顾本题,第1问,不等式恒成立问题,通过参变分离,转化成求函数的最值问题;第2问,讨论含参函数的单调性,先求导,再讨论符号不确定的部分,这些都是常规操作。事实上,这道题的两问都考查了一个非常常见的切线放缩结论。这个结论的几何意义是:对数函数
的图像,恒在其在
处的切线
的下方。我们可以通过构造函数
,很容易证明这个结论。
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