【006】2020高考全国2卷文科数学第21题

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2020高考真题解析：全国2卷文科数学第21题

已知函数 $f\left( x \right) =2\ln x+1$ 。

（1）若 $f\left( x \right) \leqslant 2x+c$ ，求 $c$ 的取值范围；

（2）设 $a>0$ ，讨论函数 $g\left( x \right) =\dfrac{f\left( x \right) -f\left( a \right)}{x-a}$ 的单调性。

解：（1） $f\left( x \right) \leqslant 2x+c$ ，即 $c\geqslant 2\ln x-2x+1$

令 $h\left( x \right) =2\ln x-2x+1$ ，则 $c\geqslant h\left( x \right) _{\max}$ ， $h'\left( x \right) =\dfrac{2}{x}-2=\dfrac{2\left( 1-x \right)}{x}$

则当 $x\in \left( 0,1 \right)$ 时， $h'\left( x \right) >0$ ， $h\left( x \right)$ 单调递增；当 $x\in \left( 1,+\infty \right)$ 时， $h'\left( x \right) <0$ ， $h\left( x \right)$ 单调递减，∴ $h\left( x \right) _{\max}=h\left( 1 \right) =-1$ ，∴ $c\in \left[ -1,+\infty \right)$

（2） $g\left( x \right) =\dfrac{f\left( x \right) -f\left( a \right)}{x-a}=\dfrac{2\left( \ln x-\ln a \right)}{x-a}$ ， $x\in \left( 0,a \right) \cup \left( a,+\infty \right)$

$g'\left( x \right) =\dfrac{2\left( 1-\dfrac{a}{x}+\ln \dfrac{a}{x} \right)}{\left( x-a \right) ^2}$ ，只需讨论 $1-\dfrac{a}{x}+\ln \dfrac{a}{x}$ 的符号。

由（1）知 $2\ln x-2x+1\leqslant -1$ ，即 $1-x+\ln x\leqslant 0$ ，当且仅当 $x=1$ 时等号成立

而 $\dfrac{a}{x}\in \left( 0,1 \right) \cup \left( 1,+\infty \right)$ ，∴ $1-\dfrac{a}{x}+\ln \dfrac{a}{x}<0$ ，从而 $g'\left( x \right) <0$

所以 $g\left( x \right)$ 在区间 $\left( 0,a \right)$ ， $\left( a,+\infty \right)$ 单调递减。

回顾本题，第1问，不等式恒成立问题，通过参变分离，转化成求函数的最值问题；第2问，讨论含参函数的单调性，先求导，再讨论符号不确定的部分，这些都是常规操作。事实上，这道题的两问都考查了一个非常常见的切线放缩结论 $\ln x\leqslant x-1$ 。这个结论的几何意义是：对数函数 $y=\ln x$ 的图像，恒在其在 $x=1$ 处的切线 $y=x-1$ 的下方。我们可以通过构造函数 $h\left( x \right) =\ln x-x+1$ ，很容易证明这个结论。

详细解答请看视频讲解，电子版文档请下载。

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