【007】2020高考全国2卷理科数学第15题（复数的逆袭）

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2020高考真题解析：全国2卷理科数学第15题。

一直以来，复数的题目总是出现在高考卷的第1题或者第2题，今年画风突变，复数一跃而起，连升十几级，来到了第15题的位置。

15. 设复数 $z_1$ ， $z_2$ 满足 $\left| z_1 \right|=\left| z_2 \right|=2$ ， $z_1+z_2=\sqrt{3}+i$ ，则 $\left| z_1-z_2 \right|=$ 。

解：法1（实数化）设 $z_1=a+bi$ ，则 $z_2=\left( \sqrt{3}-a \right) +\left( 1-b \right) i$ ， $z_1-z_2=\left( 2a-\sqrt{3} \right) +\left( 2b-1 \right) i$

由 $\left| z_1 \right|=\left| z_2 \right|=2$ ，得 $a^2+b^2=\left( \sqrt{3}-a \right) ^2+\left( 1-b \right) ^2=4$ ，则 $\sqrt{3}a+b=2$

∴ $\left| z_1-z_2 \right|=\sqrt{\left( 2a-\sqrt{3} \right) ^2+\left( 2b-1 \right) ^2}$ $=\sqrt{4\left( a^2+b^2 \right) -4\left( \sqrt{3}a+b \right) +4}=2\sqrt{3}$

法2（几何意义），设 $z_1$ ， $z_2$ ， $z_1+z_2$ 在复平面内对应的点分别为 $A$ ， $B$ ， $C$ ，复平面的原点为O。则 $\left| z_1 \right|=OA=2$ ， $\left| z_2 \right|=OB=2$ ， $\left| z_1+z_2 \right|=OC=\sqrt{\left( \sqrt{3} \right) ^2+1^2}=2$ ，所以平行四边形 $OACB$ 是菱形，且 $\angle AOB=120 ^{\circ}$ ，∴ $\left| z_1-z_2 \right|=AB=\sqrt{3}OA=2\sqrt{3}$ 。