【007】2020高考全国2卷理科数学第15题(复数的逆袭)

【007】2020高考全国2卷理科数学第15题(复数的逆袭)

年级:高二,高三
年份:2020
类型:一题一课,真题解析
题型:填空题
难度:★★
时长:03:18
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2020高考真题解析:全国2卷理科数学第15题。

一直以来,复数的题目总是出现在高考卷的第1题或者第2题,今年画风突变,复数一跃而起,连升十几级,来到了第15题的位置。

15. 设复数z_1z_2满足\left| z_1 \right|=\left| z_2 \right|=2z_1+z_2=\sqrt{3}+i,则\left| z_1-z_2 \right|=        

解:法1(实数化)设z_1=a+bi,则z_2=\left( \sqrt{3}-a \right) +\left( 1-b \right) iz_1-z_2=\left( 2a-\sqrt{3} \right) +\left( 2b-1 \right) i

\left| z_1 \right|=\left| z_2 \right|=2,得a^2+b^2=\left( \sqrt{3}-a \right) ^2+\left( 1-b \right) ^2=4,则\sqrt{3}a+b=2

\left| z_1-z_2 \right|=\sqrt{\left( 2a-\sqrt{3} \right) ^2+\left( 2b-1 \right) ^2} =\sqrt{4\left( a^2+b^2 \right) -4\left( \sqrt{3}a+b \right) +4}=2\sqrt{3}

法2(几何意义),设z_1z_2z_1+z_2在复平面内对应的点分别为ABC,复平面的原点为O。则\left| z_1 \right|=OA=2\left| z_2 \right|=OB=2\left| z_1+z_2 \right|=OC=\sqrt{\left( \sqrt{3} \right) ^2+1^2}=2,所以平行四边形OACB是菱形,且\angle AOB=120 ^{\circ},∴\left| z_1-z_2 \right|=AB=\sqrt{3}OA=2\sqrt{3}

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