【008】2020浙江高考数学第21题

【008】2020浙江高考数学第21题

年级:高二,高三
年份:2020
类型:一题一课,真题解析
题型:解答题
难度:★★★★
时长:06:09
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2020年浙江高考数学第21题,据说是今年最难的圆锥曲线题目了,来看看吧。

  1. 如图,已知椭圆C_1:\dfrac{x^2}{2}+y^2=1,抛物线C_2:y^2=2px\left( p>0 \right),点A是椭圆C_1与抛物线C_2的交点,过点A的直线l交椭圆C_1于点B,交抛物线C_2于点MBM不同于A)。

(1)若p=\dfrac{1}{16},求抛物线C_2的焦点坐标;

(2)若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点,求p的最大值。

解:(1)\left( \dfrac{1}{32},0 \right)

(2)设A\left( 2pa^2,2pa \right)M\left( x_2,y_2 \right),直线lx=m\left( y-2pa \right) +2pa^2

由点AC_1上:\dfrac{\left( 2pa^2 \right)}{2}+\left( 2pa \right) ^2=1,即2p^2a^4+4p^2a^2=1,∴p^2=\dfrac{1}{2a^4+4a^2}

直线lC_2联立:\begin{cases}       x=m\left( y-2pa \right) +2pa^2\\       y^2=2px\\\end{cases},得:y^2-2pmy+4p^2ma-4p^2a^2=0

y_2=\dfrac{4p^2ma-4p^2a^2}{2pa}=2pm-2pa,∴k_{OM}=\dfrac{y_2}{x_2}=\dfrac{2p}{y_2}=\dfrac{2p}{2pm-2pa}=\dfrac{1}{m-a}

因为M是线段AB的中点,由点差法得k_{OM}\cdot k_{AM}=-\dfrac{1}{2},代入得:

\dfrac{1}{m-a}\cdot \dfrac{1}{m}=-\dfrac{1}{2},∴m^2-am+2=0\bigtriangleup =a^2-8\geqslant 0,∴a^2\geqslant 8

所以p^2=\dfrac{1}{2a^4+4a^2}\leqslant \dfrac{1}{160}p_{\max}=\dfrac{\sqrt{10}}{40}

详细思路分析请看视频讲解,电子版文档请下载。

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