【009】2020高考全国2卷数学第19题(文理科)

【009】2020高考全国2卷数学第19题(文理科)

年级:高二,高三
年份:2020
类型:一题一课,真题解析
题型:解答题
难度:★★★
时长:06:20
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【009】19. 【文】已知椭圆C_1:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 \left( a>b>0 \right)的右焦点F与抛物线C_2的焦点重合,C_1的中心与C_2的顶点重合。过F且与x轴垂直的直线交C_1AB两点,交C_2CD两点,且\left| CD \right|=\dfrac{4}{3}\left| AB \right|

(1)求C_1的离心率;

(2)若C_1的四个顶点到C_2的准线距离之和为12,求C_1C_2的标准方程。

解:(1)设F\left( c,0 \right)C_2:y=4cx

x=c分别代入C_1C_2,解得\left| AB \right|=\dfrac{2b^2}{a}\left| CD \right|=4c

代入\left| CD \right|=\dfrac{4}{3}\left| AB \right|,得4c=\dfrac{4}{3}\cdot \dfrac{2b^2}{a},∴2a^2-3ac-2c^2=0

\left( 2a+c \right) \left( a-2c \right) =0,∴a=2ce=\dfrac{1}{2}

(2)距离之和为:c+c+2a=12,代入a=2c,解得c=2a=4

所以C_1:\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{12}=1C_2:y^2=8x

【理】题干及第(1)问都相同。

(2)设MC_1C_2的公共点。若\left| MF \right|=5,求C_1C_2的标准方程。

解:(法1)由(1)知:C_1:\dfrac{x^2}{4c^2}+\dfrac{y^2}{3c^2}=1,设M\left( x_0,y_0 \right),则

\begin{cases}       \dfrac{x_{0}^{2}}{4c^2}+\dfrac{y_{0}^{2}}{3c^2}=1\\      y_{0}^{2}=4cx_0\\  \left| MF \right|=x_0+c=5\\\end{cases}由③式得x_0=5-c,代入②式得:y_{0}^{2}=4c\left( 5-c \right),把这两个式子都代入①式,得到一个关于c的方程:\dfrac{\left( 5-c \right) ^2}{4c^2}+\dfrac{4c\left( 5-c \right)}{3c^2}=1,解得:c=3

所以C_1:\dfrac{x^2}{36}+\dfrac{y^2}{27}=1C_2:y^2=12x

(法2 结合定义)过点M作抛物线左准线的垂线,垂足为N,则MN=MF=5。设C_1的左焦点为F',则MF'=2a-5=4c-5,∴\cos \angle NMF'=\dfrac{5}{4c-5}

\cos \angle MF'F=\dfrac{5}{4c-5},在\bigtriangleup MF'F中,由余弦定理:

\cos \angle MF'F=\dfrac{\left( 4c-5 \right) ^2+\left( 2c \right) ^2-5^2}{2\times \left( 4c-5 \right) \times 2c},∴\dfrac{5}{4c-5}=\dfrac{\left( 4c-5 \right) ^2+\left( 2c \right) ^2-5^2}{2\times \left( 4c-5 \right) \times 2c}

解得c=3,所以C_1:\dfrac{x^2}{36}+\dfrac{y^2}{27}=1C_2:y^2=12x

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