【009】2020高考全国2卷数学第19题（文理科）

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【009】19. 【文】已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，的中心与的顶点重合。过且与轴垂直的直线交于，两点，交于，两点，且。

（1）求的离心率；

（2）若的四个顶点到的准线距离之和为，求与的标准方程。

解：（1）设，

把分别代入，，解得，

代入，得，∴

∴，∴，

（2）距离之和为：，代入，解得，

所以，。

【理】题干及第（1）问都相同。

（2）设是与的公共点。若，求与的标准方程。

解：（法1）由（1）知：，设，则

由③式得，代入②式得：，把这两个式子都代入①式，得到一个关于的方程：，解得：

所以，。

（法2 结合定义）过点作抛物线左准线的垂线，垂足为，则。设的左焦点为，则，∴，

∴，在中，由余弦定理：

，∴

解得，所以，。

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