【010】2020高考全国2卷数学第20题（文理科）

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【文】如图，已知三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 的底面是正三角形，侧面 $BB_1C_1C$ 是矩形， $M$ ， $N$ 分别为 $BC$ ， $B_1C_1$ 的中点， $P$ 为 $AM$ 上一点。过 $B_1C_1$ 和 $P$ 的平面交 $AB$ 于 $E$ ，交 $AC$ 于 $F$ 。

（1）证明： $AA_1\varparallel MN$ ，且平面 $A_1AMN\bot$ 平面 $EB_1C_1F$ ；

（2）设 $O$ 为 $\bigtriangleup A_1B_1C_1$ 的中心。若 $AO=AB=6$ ， $AO\varparallel$ 平面 $EB_1C_1F$ ，且 $\angle MPN=\dfrac{\pi}{3}$ ，求四棱锥 $B-EB_1C_1F$ 的体积。

解：（1）∵ $M$ ， $N$ 分别为 $BC$ ， $B_1C_1$ 的中点，∴ $MN\varparallel BB_1$ ，而 $AA_1\varparallel BB_1$ ，∴ $AA_1\varparallel MN$

∵ $\bigtriangleup A_1B_1C_1$ 是正三角形，∴ $B_1C_1\bot A_1N$ ，又 $B_1C_1\bot MN$ ， $A_1N\cap MN=N$ ，∴ $B_1C_1\bot$ 平面 $A_1AMN$ ， $B_1C_1\subset$ 平面 $EB_1C_1F$ ，∴平面 $A_1AMN\bot$ 平面 $EB_1C_1F$ 。

（2） $AO\varparallel$ 平面 $EB_1C_1F$ ， $AO\subset$ 平面 $A_1AMN$ ，平面 $A_1AMN\cap$ 平面 $EB_1C_1F=PN$ ，∴ $AO\varparallel PN$ ，又 $AP\varparallel ON$ ，∴四边形 $APNO$ 是平行四边形，∴ $PN=AO=6$ ， $AP=ON=\dfrac{1}{3}AM=\sqrt{3}$ ， $PM=\dfrac{2}{3}AM=2\sqrt{3}$ ， $EF=\dfrac{1}{3}BC=2$ 。