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【文】如图,已知三棱柱的底面是正三角形,侧面
是矩形,
,
分别为
,
的中点,
为
上一点。过
和
的平面交
于
,交
于
。
(1)证明:,且平面
平面
;
(2)设为
的中心。若
,
平面
,且
,求四棱锥
的体积。
解:(1)∵,
分别为
,
的中点,∴
,而
,∴
∵是正三角形,∴
,又
,
,∴
平面
,
平面
,∴平面
平面
。
(2)平面
,
平面
,平面
平面
,∴
,又
,∴四边形
是平行四边形,∴
,
,
,
。
∵平面
,∴
。
作于点
,∴
∵平面平面
,平面
平面
,
平面
,∴
平面
。
∴
【理】题干及第1问与文科相同。
(2)设为
的中心。若
平面
,且
,求直线
与平面
所成角的正弦值。
由(1)知,在平面
内的投影为
,∴
与平面
所成角就是
与
所成角。
按照前面文科题里面的分析知:四边形是平行四边形,
。
令,则
,
。
如图,作于点
,则
。
∴,所以直线
与平面
所成角的正弦值为
。
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