【010】2020高考全国2卷数学第20题(文理科)

【010】2020高考全国2卷数学第20题(文理科)

年级:高二,高三
年份:2020
类型:一题一课,真题解析
题型:解答题
难度:★★★
时长:08:33
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【文】如图,已知三棱柱ABC-A_1B_1C_1的底面是正三角形,侧面BB_1C_1C是矩形,MN分别为BCB_1C_1的中点,PAM上一点。过B_1C_1P的平面交ABE,交ACF

(1)证明:AA_1\varparallel MN,且平面A_1AMN\bot平面EB_1C_1F

(2)设O\bigtriangleup A_1B_1C_1的中心。若AO=AB=6AO\varparallel平面EB_1C_1F,且\angle MPN=\dfrac{\pi}{3},求四棱锥B-EB_1C_1F的体积。

解:(1)∵MN分别为BCB_1C_1的中点,∴MN\varparallel BB_1,而AA_1\varparallel BB_1,∴AA_1\varparallel MN

\bigtriangleup A_1B_1C_1是正三角形,∴B_1C_1\bot A_1N,又B_1C_1\bot MNA_1N\cap MN=N,∴B_1C_1\bot平面A_1AMNB_1C_1\subset平面EB_1C_1F,∴平面A_1AMN\bot平面EB_1C_1F

(2)AO\varparallel平面EB_1C_1FAO\subset平面A_1AMN,平面A_1AMN\cap平面EB_1C_1F=PN,∴AO\varparallel PN,又AP\varparallel ON,∴四边形APNO是平行四边形,∴PN=AO=6AP=ON=\dfrac{1}{3}AM=\sqrt{3}PM=\dfrac{2}{3}AM=2\sqrt{3}EF=\dfrac{1}{3}BC=2

BC\varparallel平面EB_1C_1F,∴V_{B-EB_1C_1F}=V_{M-EB_1C_1F}

MT\bot PN于点T,∴MT=PM\sin \angle MPN=2\sqrt{3}\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}=3

∵平面A_1AMN\bot平面EB_1C_1F,平面A_1AMN\cap平面EB_1C_1F=PNMT\subset平面A_1AMN,∴MT\bot平面EB_1C_1F

S_{\text{梯形}EB_1C_1F}=\dfrac{1}{2}\times \left( B_1C_1+EF \right) \times PN=\dfrac{1}{2}\times \left( 6+2 \right) \times 6=24

V_{B-EB_1C_1F}=V_{M-EB_1C_1F}=\dfrac{1}{3}\times 24\times 3=24

【理】题干及第1问与文科相同。

(2)设O\bigtriangleup A_1B_1C_1的中心。若AO\varparallel平面EB_1C_1F,且AO=AB,求直线B_1E与平面A_1AMN所成角的正弦值。

由(1)知,B_1E在平面A_1AMN内的投影为PN,∴B_1E与平面A_1AMN所成角就是B_1EPN所成角。

按照前面文科题里面的分析知:四边形APNO是平行四边形,\dfrac{EP}{BM}=\dfrac{AP}{AM}=\dfrac{1}{3}

EP=1,则B_1N=BM=3PN=AO=AB=2BM=6

如图,作EG\bot B_1N于点G,则B_1G=B_1N-EP=2

\sin \angle B_1EG=\dfrac{2}{\sqrt{2^2+6^2}}=\dfrac{\sqrt{10}}{10},所以直线B_1E与平面A_1AMN所成角的正弦值为\dfrac{\sqrt{10}}{10}

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