【011】2020高考全国1卷理数第11题

【011】2020高考全国1卷理数第11题

年级:高一,高二,高三
年份:2020
类型:一题一课,真题解析
题型:单选题
难度:★★★
时长:03:32
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11. 已知\odot M:x^2+y^2-2x-2y-2=0,直线l:2x+y+2=0Pl上的动点。过点P\odot M的切线PAPB,切点为AB,当\left| PM \right|\cdot \left| AB \right|最小时,直线AB的方程为( )

A. 2x-y-1=0

B. 2x+y-1=0

C. 2x-y+1=0

D. 2x+y+1=0

解:\odot M:\left( x-1 \right) ^2+\left( y-1 \right) ^2=4M\left( 1,1 \right)r=2。依照题意画出图像:

PM\bot AB,∴\dfrac{1}{2}\cdot \left| PM \right|\cdot \left| AB \right|=S_{\text{四边形}PAMB}=2\times S_{\bigtriangleup PAM}=2\times \dfrac{1}{2}\times \left| PA \right|\times \left| MA \right|=2\left| PA \right|

\left| PM \right|\cdot \left| AB \right|=4\left| PA \right|=4\times \sqrt{\left| PM \right|^2-\left| MA \right|^2}=4\sqrt{\left| PM \right|^2-4}

所以当\left| PM \right|最小,即PM\bot l时,\left| PM \right|\cdot \left| AB \right|最小。

P\left( x_0,-2x_0-2 \right),则\overrightarrow{PM}=\left( 1-x_0,2x_0+3 \right),而直线l的方向向量\overrightarrow{l}=\left( -1,2 \right)

\overrightarrow{PM}\cdot \overrightarrow{l}=x_0-1+4x_0+6=0,解得x_0=-1,∴P\left( -1,0 \right)

由切点弦公式得,直线AB的方程为:\left( -1-1 \right) \left( x-1 \right) +\left( 0-1 \right) \left( y-1 \right) -4=0

即:2x+y+1=0,选D。

拓展:过圆\left( x-a \right) ^2+\left( y-b \right) ^2=r^2外一点P\left( x_0,y_0 \right)作圆的两条切线,则切点所在的弦称为切点弦,其直线方程为:\left( x_0-a \right) \left( x-a \right) +\left( y_0-b \right) \left( y-b \right) =r^2

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