【011】2020高考全国1卷理数第11题

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11. 已知 $\odot M:x^2+y^2-2x-2y-2=0$ ，直线 $l:2x+y+2=0$ ， $P$ 为 $l$ 上的动点。过点 $P$ 作 $\odot M$ 的切线 $PA$ ， $PB$ ，切点为 $A$ ， $B$ ，当 $\left| PM \right|\cdot \left| AB \right|$ 最小时，直线 $AB$ 的方程为（）

A. $2x-y-1=0$

B. $2x+y-1=0$

C. $2x-y+1=0$

D. $2x+y+1=0$

解： $\odot M:\left( x-1 \right) ^2+\left( y-1 \right) ^2=4$ ， $M\left( 1,1 \right)$ ， $r=2$ 。依照题意画出图像：

∵ $PM\bot AB$ ，∴ $\dfrac{1}{2}\cdot \left| PM \right|\cdot \left| AB \right|=S_{\text{四边形}PAMB}=2\times S_{\bigtriangleup PAM}=2\times \dfrac{1}{2}\times \left| PA \right|\times \left| MA \right|$ $=2\left| PA \right|$

∴ $\left| PM \right|\cdot \left| AB \right|=4\left| PA \right|=4\times \sqrt{\left| PM \right|^2-\left| MA \right|^2}=4\sqrt{\left| PM \right|^2-4}$

设 $P\left( x_0,-2x_0-2 \right)$ ，则 $\overrightarrow{PM}=\left( 1-x_0,2x_0+3 \right)$ ，而直线 $l$ 的方向向量 $\overrightarrow{l}=\left( -1,2 \right)$

∴ $\overrightarrow{PM}\cdot \overrightarrow{l}=x_0-1+4x_0+6=0$ ，解得 $x_0=-1$ ，∴ $P\left( -1,0 \right)$

由切点弦公式得，直线 $AB$ 的方程为： $\left( -1-1 \right) \left( x-1 \right) +\left( 0-1 \right) \left( y-1 \right) -4=0$

即： $2x+y+1=0$ ，选D。

拓展：过圆 $\left( x-a \right) ^2+\left( y-b \right) ^2=r^2$ 外一点 $P\left( x_0,y_0 \right)$ 作圆的两条切线，则切点所在的弦称为切点弦，其直线方程为： $\left( x_0-a \right) \left( x-a \right) +\left( y_0-b \right) \left( y-b \right) =r^2$ 。

详细思路分析请看视频讲解，电子版文档请下载。

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