【012】2020高考全国1卷理数第16题

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16. 如图，在三棱锥 $P-ABC$ 的平面展开图中， $AC=1$ ， $AB=AD=\sqrt{3}$ ， $AB\bot AC$ ， $AB\bot AD$ ， $AB\bot AD$ ，则 $\cos \angle FCB=$ 。

解： $BC=\sqrt{1^2+\sqrt{3}^2}=2$ ， $BD=\sqrt{\sqrt{3}^2+\sqrt{3}^2}=\sqrt{6}$ 。

三棱锥展开之后，由同一条棱剪开得到的两条线段相等，

∴ $AE=AD=\sqrt{3}$ ， $BF=BD=\sqrt{6}$ ， $CF=CE$

在 $\bigtriangleup EAC$ 中，由余弦定理： $CE=\sqrt{AE^2+AC^2-2\cdot AE\cdot AC\cdot \cos \angle CAE}=1$

∴ $CF=CE=1$ ，在 $\bigtriangleup FCB$ 中，由余弦定理：

$\cos \angle FCB=\dfrac{BC^2+CF^2-BF^2}{2\cdot BC\cdot CF}=\dfrac{2^2+1^2-\sqrt{6}^2}{2\times 2\times 1}=-\dfrac{1}{4}$

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