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- 甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下:
累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束。
经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空。设每场比赛双方获胜的概率都为。
(1)求甲连胜四场的概率;
(2)求需要进行第五场比赛的概率;
(3)求丙最终获胜的概率。
解:(1)甲每场获胜的概率为,连胜四场的概率为
。
(2)【法1】需要进行第五场比赛,说明前四场比赛“不能”确定获胜者,它的反面就是前四场比赛“能”确定获胜者。
情形1:甲获胜。甲连赢四场才能只用四场比赛就获胜,概率为。
情形2:乙获胜。同理,概率为。
情形3:丙获胜。从第二场开始,丙连胜三场,概率为。
所以前四场比赛“能”确定获胜者的概率为:
因此前四场比赛不能确定获胜者,即需要进行第五场比赛的概率为:。
【法2】需要进行第五场比赛,说明前四场比赛“不能”确定获胜者,因此前四场比赛中,1人负两场,另外两人各负一场。
情形1:甲2乙1丙1。有5种情况:甲丙甲乙,甲丙乙甲,甲乙丙甲,乙甲丙甲,甲乙甲丙。
情形2:乙2甲1丙1。同理,有5种情况。
情形3:甲1乙1丙2。有两种情况:甲丙乙丙,乙丙甲丙。
所以,需要进行第五场比赛的概率为:
(上面的三种情形,怎么分析枚举,请看视频)
(3)丙最终获胜,有两种情形:
情形1:比赛进行四场且丙获胜。概率为。
情形2:比赛进行五场且丙获胜。即前4场比赛丙负1场,且第5场比赛丙获胜。由(2)的法2知,前4场比赛丙负1场的概率为:。因此比赛进行五场且丙获胜的概率为:
。
所以丙最终获胜的概率为。
详细思路分析请看视频讲解,电子版文档请下载。
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