【013】2020高考全国1卷理数第19题

【013】2020高考全国1卷理数第19题

年级:高二,高三
年份:2020
类型:一题一课,真题解析
题型:解答题
难度:★★★★
时长:10:06
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  1. 甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下:

累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束。

经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空。设每场比赛双方获胜的概率都为\dfrac{1}{2}

(1)求甲连胜四场的概率;

(2)求需要进行第五场比赛的概率;

(3)求丙最终获胜的概率。

解:(1)甲每场获胜的概率为\dfrac{1}{2},连胜四场的概率为\left( \dfrac{1}{2} \right) ^4=\dfrac{1}{16}

(2)【法1】需要进行第五场比赛,说明前四场比赛“不能”确定获胜者,它的反面就是前四场比赛“”确定获胜者。

情形1:甲获胜。甲连赢四场才能只用四场比赛就获胜,概率为\left( \dfrac{1}{2} \right) ^4=\dfrac{1}{16}

情形2:乙获胜。同理,概率为\left( \dfrac{1}{2} \right) ^4=\dfrac{1}{16}

情形3:丙获胜。从第二场开始,丙连胜三场,概率为\left( \dfrac{1}{2} \right) ^3=\dfrac{1}{8}

所以前四场比赛“”确定获胜者的概率为:\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{8}=\dfrac{1}{4}

因此前四场比赛不能确定获胜者,即需要进行第五场比赛的概率为:1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}

【法2】需要进行第五场比赛,说明前四场比赛“不能”确定获胜者,因此前四场比赛中,1人负两场,另外两人各负一场。

情形1:甲2乙1丙1。有5种情况:甲丙甲乙,甲丙乙甲,甲乙丙甲,乙甲丙甲,甲乙甲丙。

情形2:乙2甲1丙1。同理,有5种情况。

情形3:甲1乙1丙2。有两种情况:甲丙乙丙,乙丙甲丙。

所以,需要进行第五场比赛的概率为:\left( 5+5+2 \right) \times \left( \dfrac{1}{2} \right) ^4=\dfrac{3}{4}

(上面的三种情形,怎么分析枚举,请看视频)

(3)丙最终获胜,有两种情形:

情形1:比赛进行四场且丙获胜。概率为\left( \dfrac{1}{2} \right) ^3=\dfrac{1}{8}

情形2:比赛进行五场且丙获胜。即前4场比赛丙负1场,且第5场比赛丙获胜。由(2)的法2知,前4场比赛丙负1场的概率为:\left( 5+5 \right) \times \left( \dfrac{1}{2} \right) ^4=\dfrac{5}{8}。因此比赛进行五场且丙获胜的概率为:\dfrac{5}{8}\times \dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{16}

所以丙最终获胜的概率为\dfrac{1}{8}+\dfrac{5}{16}=\dfrac{7}{16}

详细思路分析请看视频讲解,电子版文档请下载。

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