【一轮2-1】定义域的求解方法

【如您是在手机上阅读，横屏观看可以获得更好的阅读体验】

今天我们一起来学习函数定义域的求解方法。

例1. 函数 $f\left( x \right) =\sqrt{4-\left| x \right|}+\lg \dfrac{x^2-5x+6}{x-3}$ 的定义域为（）

A. $\left( 2,3 \right)$

B. $\left( 2,4 \right]$

C. $\left( 2,3 \right) \cup \left( 3,4 \right]$

D. $\left( -1,3 \right) \cup \left( 3,6 \right]$

略解：由 $\begin{cases} 4-\left| x \right|\geqslant 0\\ \dfrac{x^2-5x+6}{x-3}>0\\\end{cases}$ ，得 $\begin{cases} \left| x \right|\leqslant 4\\ \dfrac{\left( x-2 \right) \left( x-3 \right)}{x-3}>0\\\end{cases}$ ，解得 $\begin{cases} -4\leqslant x\leqslant 4\\ x>2 \land \,\,x\ne 3\\\end{cases}$ ，所以 $x\in \left( 2,3 \right) \cup \left( 3,4 \right]$ 。

例2. （1）已知函数 $f\left( x \right)$ 的定义域为 $\left( 0,1 \right)$ ，求 $f\left( x^2 \right)$ 的定义域；

（2）已知函数 $f\left( x^2 \right)$ 的定义域为 $\left( 2,4 \right)$ ，求 $f\left( x \right)$ 的定义域；

（3）已知函数 $f\left( x^2 \right)$ 的定义域为 $\left( 1,2 \right)$ ，求 $f\left( 2x+1 \right)$ 的定义域。

略解：（1）由 $0<x^2<1$ 解得，所以 $f\left( x^2 \right)$ 的定义域为 $\left( -1,0 \right) \cup \left( 0,1 \right)$ 。

（2） $2<x<4$ ，所以 $4<x^2<16$ ，所以 $f\left( x \right)$ 的定义域为 $\left( 4,16 \right)$ 。

（3） $1<x<2$ ，所以 $1<x^2<4$ ，故需 $1<2x+1<4$ ，得 $0<x<\dfrac{3}{2}$ ，所以 $f\left( 2x+1 \right)$ 的定义域为 $\left( 0,\dfrac{3}{2} \right)$ 。

例3. 若函数 $f\left( 2^x \right)$ 的定义域为 $\left[ -1,1 \right]$ ，则函数 $h\left( x \right) =f\left( x \right) +f\left( x-1 \right)$ 的定义域为。

略解： $-1\leqslant x\leqslant 1$ ，所以 $\dfrac{1}{2}\leqslant 2^x\leqslant 2$ ，所以 $f\left( x \right)$ 的定义域为 $\left[ \dfrac{1}{2},2 \right]$ ，对于 $h\left( x \right)$ ，有 $\begin{cases} \frac{1}{2}\leqslant x\leqslant 2\\ \frac{1}{2}\leqslant x-1\leqslant 2\\\end{cases}$ ，所以 $\dfrac{3}{2}\leqslant x\leqslant 2$ ，所以函数 $h\left( x \right)$ 的定义域为 $\left[ \dfrac{3}{2},2 \right]$ 。