【一轮2-1】定义域的求解方法

【一轮2-1】定义域的求解方法

年级:高一,高二,高三
年份:2020
类型:精品专题
题型:单选题,填空题,解答题
难度:★★
时长:08:52
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今天我们一起来学习函数定义域的求解方法。

例1. 函数f\left( x \right) =\sqrt{4-\left| x \right|}+\lg \dfrac{x^2-5x+6}{x-3}的定义域为(   )

A. \left( 2,3 \right)

B. \left( 2,4 \right]

C. \left( 2,3 \right) \cup \left( 3,4 \right]

D. \left( -1,3 \right) \cup \left( 3,6 \right]

略解:由\begin{cases}     4-\left| x \right|\geqslant 0\\ \dfrac{x^2-5x+6}{x-3}>0\\\end{cases},得\begin{cases}       \left| x \right|\leqslant 4\\     \dfrac{\left( x-2 \right) \left( x-3 \right)}{x-3}>0\\\end{cases},解得\begin{cases}   -4\leqslant x\leqslant 4\\      x>2 \land \,\,x\ne 3\\\end{cases},所以x\in \left( 2,3 \right) \cup \left( 3,4 \right]

例2. (1)已知函数f\left( x \right)的定义域为\left( 0,1 \right),求f\left( x^2 \right)的定义域;

(2)已知函数f\left( x^2 \right)的定义域为\left( 2,4 \right),求f\left( x \right)的定义域;

(3)已知函数f\left( x^2 \right)的定义域为\left( 1,2 \right),求f\left( 2x+1 \right)的定义域。

略解:(1)由0<x^2<1解得,所以f\left( x^2 \right)的定义域为\left( -1,0 \right) \cup \left( 0,1 \right)

(2)2<x<4,所以4<x^2<16,所以f\left( x \right)的定义域为\left( 4,16 \right)

(3)1<x<2,所以1<x^2<4,故需1<2x+1<4,得0<x<\dfrac{3}{2},所以f\left( 2x+1 \right)的定义域为\left( 0,\dfrac{3}{2} \right)

例3. 若函数f\left( 2^x \right)的定义域为\left[ -1,1 \right],则函数h\left( x \right) =f\left( x \right) +f\left( x-1 \right)的定义域为      

略解:-1\leqslant x\leqslant 1,所以\dfrac{1}{2}\leqslant 2^x\leqslant 2,所以f\left( x \right)的定义域为\left[ \dfrac{1}{2},2 \right],对于h\left( x \right),有\begin{cases}    \frac{1}{2}\leqslant x\leqslant 2\\       \frac{1}{2}\leqslant x-1\leqslant 2\\\end{cases},所以\dfrac{3}{2}\leqslant x\leqslant 2,所以函数h\left( x \right)的定义域为\left[ \dfrac{3}{2},2 \right]

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