【014】2020高考全国1卷理数第20题(文数第21题)

【014】2020高考全国1卷理数第20题(文数第21题)

年级:高二,高三
年份:2020
类型:一题一课,真题解析
题型:解答题
难度:★★★★
时长:10:28
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2020高考数学真题解析:全国1卷理科数学第20题(文数第21题),圆锥曲线大题。

  1. 已知AB分别为椭圆E:\dfrac{x^2}{a^2}+y^2=1\left( a>1 \right)的左、右顶点,GE的上顶点,\overrightarrow{AG}\cdot \overrightarrow{GB}=8P为直线x=6上的动点,PAE的另一个交点为CPBE的另一交点为D

(1)求E的方程;(2)证明:直线CD过定点。

解:(1)A\left( -a,0 \right)B\left( a,0 \right)G\left( 0,1 \right)

\overrightarrow{AG}=\left( a,1 \right)\overrightarrow{GB}=\left( a,-1 \right)。所以\overrightarrow{AG}\cdot \overrightarrow{GB}=a^2-1=8,解得a=3

所以E的方程为\dfrac{x^2}{9}+y^2=1

(2)由(1)知A\left( -3,0 \right)B\left( 3,0 \right),设P\left( 6,t \right)C\left( x_1,y_1 \right)D\left( x_2,y_2 \right)

【法1】k_{AC}=\dfrac{t}{9}k_{BD}=\dfrac{t}{3},∴k_{BD}=3k_{AC}

D在椭圆E上,∴\dfrac{x_{2}^{2}}{9}+y_{2}^{2}=1,∴x_{2}^{2}-9=-9y_{2}^{2},即\left( x_2+3 \right) \left( x_2-3 \right) =-9y_{2}^{2}

所以\dfrac{y_2}{x_2+3}\cdot \dfrac{y_2}{x_2-3}=-\dfrac{1}{9},即k_{AD}\cdot k_{BD}=-\dfrac{1}{9}

所以k_{AD}\cdot k_{AC}=-\dfrac{1}{27},即\dfrac{y_1}{x_1+3}\cdot \dfrac{y_2}{x_2+3}=-\dfrac{1}{27}

由于CD肯定不过A点,设为m\left( x+3 \right) +ny=1

\dfrac{x^2}{9}+y^2=1,得y^2-\dfrac{2}{3}\left( x+3 \right) +\dfrac{\left( x+3 \right) ^2}{9}=0

y^2-\dfrac{2}{3}\left( x+3 \right) \left[ m\left( x+3 \right) +ny \right] +\dfrac{\left( x+3 \right) ^2}{9}=0

y^2-\dfrac{2}{3}n\left( x+3 \right) y+\left( \dfrac{1}{9}-\dfrac{2}{3}m \right) \left( x+3 \right) ^2=0

\left( \dfrac{y}{x+3} \right) ^2-\dfrac{2}{3}n\cdot \dfrac{y}{x+3}+\left( \dfrac{1}{9}-\dfrac{2}{3}m \right) =0

所以\dfrac{y_1}{x_1+3}\cdot \dfrac{y_2}{x_2+3}=\dfrac{1}{9}-\dfrac{2}{3}m=-\dfrac{1}{27},解得m=\dfrac{2}{9}

代回CD的方程得:\dfrac{2}{9}x+ny-\dfrac{1}{3}=0,所以CD过定点\left( \dfrac{3}{2},0 \right)

【法2】k_{AC}=\dfrac{t}{9}k_{BD}=\dfrac{t}{3},∴k_{BD}=3k_{AC},即\dfrac{3y_1}{x_1+3}=\dfrac{y_2}{x_2-3}

两边平方得:\dfrac{9y_{1}^{2}}{\left( x_1+3 \right) ^2}=\dfrac{y_{2}^{2}}{\left( x_2-3 \right) ^2},代入9y_{1}^{2}=9-x_{1}^{2}y_{2}^{2}=\dfrac{1}{9}\left( 9-x_{2}^{2} \right)化简得:

\dfrac{3-x_1}{3+x_1}=\dfrac{1}{9}\cdot \dfrac{3+x_2}{3-x_2},∴4x_1x_2-15\left( x_1+x_2 \right) +36=0\cdots \left( \ast \right)

(1)当CD的斜率不存在时,y_1=-y_2,解得x_1=x_2=\dfrac{3}{2},即此时CD的方程为x=\dfrac{3}{2},恒过\left( \dfrac{3}{2},0 \right)

(2)当CD的斜率存在时,设CD:y=kx+m,联立\begin{cases}   y=kx+m\\       \dfrac{x^2}{9}+y^2=1\\\end{cases}得:

\left( 9k^2+1 \right) x^2+18kmx+9m^2-9=0

所以x_1x_2=\dfrac{9m^2-9}{9k^2+1}x_1+x_2=\dfrac{-18km}{9k^2+1},代入\left( \ast \right)式得:

4\left( 9m^2-9 \right) -15\cdot \left( -18km \right) +36\left( 9k^2+1 \right) =0

两边同除以18化简得:2m^2+15km+18k^2=0

\left( 2m+3k \right) \left( m+6k \right) =0,∴m=-\dfrac{3}{2}km=-6k

所以CD方程为y=kx-\dfrac{3}{2}ky=kx-6k,恒过\left( \dfrac{3}{2},0 \right)\left( 6,0 \right)

由于CDx轴的交点在椭圆内部,舍去\left( 6,0 \right)

所以CD恒过\left( \dfrac{3}{2},0 \right)

综合(1)(2)知,CD过定点\left( \dfrac{3}{2},0 \right)

【法3】因为k_{BD}=3k_{AC}ACBD都经过x轴上的已知点,所以可以用“斜率”这一个变量表示CD两点的坐标。为避免联立两次,我们可以先把ACBD的方程统一设成y=k\left( x-m \right)

联立\begin{cases}       y=k\left( x-m \right)\\   \dfrac{x^2}{9}+y^2=1\\\end{cases}得:\left( 9k^2+1 \right) x^2-18k^2mx+9k^2m^2-9=0

m\cdot x_2=\dfrac{9k^2m^2-9}{9k^2+1},∴x_2=\dfrac{9k^2m^2-9}{\left( 9k^2+1 \right) m}y_2=k\cdot \dfrac{-9-m^2}{\left( 9k^2+1 \right) m}

代入m=-3得:x_C=\dfrac{-27k^2+3}{9k^2+1}y_c=\dfrac{6k}{9k^2+1}

代入m=3k'=3k得:x_D=\dfrac{243k^2-3}{81k^2+1}y_D=\dfrac{-18k}{81k^2+1}

由对称性知,如果CD过定点,则该定点一定在x轴上,不妨设为P\left( x_0,0 \right)

CDP三点共线,得:\left( x_0-x_C \right) \left( y_D-y_C \right) =\left( x_D-x_C \right) \left( 0-y_C \right)

所以x_0=\dfrac{x_Dy_C-x_Cy_D}{y_C-y_D} =\dfrac{6k\left( 243k^2-3 \right) +18k\left( -27k^2+3 \right)}{6k\left( 81k^2+1 \right) +18k\left( 9k^2+1 \right)} =\dfrac{3}{2}\times \dfrac{18\times 18k^3+12k}{18\times 18k^3+12k} =\dfrac{3}{2}

所以CD过定点\left( \dfrac{3}{2},0 \right)


 

说明:本题的目标为k_{BD}=3k_{AC},即\dfrac{3y_1}{x_1+3}=\dfrac{y_2}{x_2-3},是非对称的

如果用直线方程y=kx+m代入:\dfrac{3\left( kx_1+m \right)}{x_1+3}=\dfrac{kx_2+m}{x_2-3}

即:2kx_1x_2+\left( 3m-3k \right) x_2-\left( 9k+m \right) x_1-12m=0,还是非对称的。

(很多非对称的题目,用直线方程代入之后,会变成对称的,但本题不是)

到这里,也可以把y=kx+m与椭圆联立,得到x_1x_2x_1+x_2,然后代掉x_1x_2,保留x_1(或x_2),并用x_1+x_2的式子减去x_1(或x_2),去代换x_2(或x_1),并整理成f\left( k,m \right) \cdot x_1+g\left( k,m \right) =0,由于不管x_1怎么变,该式恒成立,所以\begin{cases}    f\left( k,m \right) =0\\       g\left( k,m \right) =0\\\end{cases},解得km之间的关系。

但是这样处理计算量偏大。一般在看到用直线方程代入之后,目标还是非对称时,可以转化一下思路,不直接代入,而是先尝试把目标对称化。本文尝试了以下三个方法:

法1,用第三定义,转化到CD与同一个点连线的斜率关系。

法2,平方后用椭圆方程代入。

法3,放弃韦达定理整体代入目标的想法,用一个变量表示出CD两点的坐标。

详细思路分析请看视频讲解,电子版文档请下载。

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