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2020高考数学真题解析:全国1卷理科数学第20题(文数第21题),圆锥曲线大题。
- 已知
,
分别为椭圆
的左、右顶点,
为
的上顶点,
。
为直线
上的动点,
与
的另一个交点为
,
与
的另一交点为
。
(1)求的方程;(2)证明:直线
过定点。
解:(1),
,
则,
。所以
,解得
所以的方程为
。
(2)由(1)知,
,设
,
,
【法1】∵,
,∴
∵在椭圆
上,∴
,∴
,即
所以,即
所以,即
由于肯定不过
点,设为
由,得
∴
∴
∴
所以,解得
,
代回的方程得:
,所以
过定点
。
【法2】∵,
,∴
,即
两边平方得:,代入
,
化简得:
,∴
(1)当的斜率不存在时,
,解得
,即此时
的方程为
,恒过
(2)当的斜率存在时,设
,联立
得:
所以,
,代入
式得:
两边同除以化简得:
∴,∴
或
所以方程为
或
,恒过
或
由于与
轴的交点在椭圆内部,舍去
所以恒过
综合(1)(2)知,过定点
。
【法3】因为,
与
都经过
轴上的已知点,所以可以用“斜率”这一个变量表示
,
两点的坐标。为避免联立两次,我们可以先把
与
的方程统一设成
。
联立得:
∴,∴
,
代入得:
,
代入,
得:
,
由对称性知,如果过定点,则该定点一定在
轴上,不妨设为
由,
,
三点共线,得:
所以
所以过定点
。
说明:本题的目标为,即
,是非对称的
如果用直线方程代入:
即:,还是非对称的。
(很多非对称的题目,用直线方程代入之后,会变成对称的,但本题不是)
到这里,也可以把与椭圆联立,得到
,
,然后代掉
,保留
(或
),并用
的式子减去
(或
),去代换
(或
),并整理成
,由于不管
怎么变,该式恒成立,所以
,解得
与
之间的关系。
但是这样处理计算量偏大。一般在看到用直线方程代入之后,目标还是非对称时,可以转化一下思路,不直接代入,而是先尝试把目标对称化。本文尝试了以下三个方法:
法1,用第三定义,转化到,
与同一个点连线的斜率关系。
法2,平方后用椭圆方程代入。
法3,放弃韦达定理整体代入目标的想法,用一个变量表示出,
两点的坐标。
详细思路分析请看视频讲解,电子版文档请下载。
请先
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