【015】2020高考全国1卷理数第21题

【如您是在手机上阅读，横屏观看可以获得更好的阅读体验】

2020高考数学真题解析：全国1卷理科数学第21题。

已知函数 $f\left( x \right) =e^x+ax^2-x$ 。

（1）当 $a=1$ 时，讨论 $f\left( x \right)$ 的单调性；

（2）当 $x\geqslant 0$ 时， $f\left( x \right) \geqslant \dfrac{1}{2}x^3+1$ ，求 $a$ 的取值范围。

解：（1）当 $a=1$ 时， $f\left( x \right) =e^x+x^2-x$ ， $f'\left( x \right) =e^x+2x-1$ 。

由于 $f'\left( x \right)$ 单调递增，且 $f'\left( 0 \right) =0$ ，所以当 $x\in \left( -\infty ,0 \right)$ 时， $f'\left( x \right) <0$ ， $f\left( x \right)$ 单调递减；当 $x\in \left( 0,+\infty \right)$ 时， $f'\left( x \right) >0$ ， $f\left( x \right)$ 单调递增。

（2） $f\left( x \right) \geqslant \dfrac{1}{2}x^3+1$ ，即 $ax^2\geqslant \dfrac{1}{2}x^3+x+1-e^x$

当 $x=0$ 时，对任意的 $a\in R$ 都满足题意。

当 $x>0$ 时，即 $a\geqslant \dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{e^x}{x^2}$ ，令 $g\left( x \right) =\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{e^x}{x^2}$

则 $g'\left( x \right) =\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{2}{x^3}-\dfrac{e^x\left( x-2 \right)}{x^3}$ $=\dfrac{\dfrac{1}{2}x^3-x-2}{x^3}-\dfrac{e^x\left( x-2 \right)}{x^3}$

$=\dfrac{\left( x-2 \right) \left( \dfrac{1}{2}x^2+x+1 \right)}{x^3}-\dfrac{e^x\left( x-2 \right)}{x^3}$ $=\dfrac{\left( x-2 \right) \left( \dfrac{1}{2}x^2+x+1-e^x \right)}{x^3}$

令 $h\left( x \right) =\dfrac{1}{2}x^2+x+1-e^x$ ，则 $h'\left( x \right) =x+1-e^x$ ， $h''\left( x \right) =1-e^x$

∵当 $x>0$ 时， $h''\left( x \right) <0$ ，∴ $h'\left( x \right)$ 单调递减

∴ $h'\left( x \right) <h'\left( 0 \right) =0$ ，∴ $h\left( x \right)$ 单调递减， $h\left( x \right) <h\left( 0 \right) =0$

所以当 $x\in \left( 0,2 \right)$ 时， $g'\left( x \right) >0$ ， $g\left( x \right)$ 单调递增；当 $x\in \left( 2,+\infty \right)$ 时， $g'\left( x \right) <0$ ， $g\left( x \right)$ 单调递减，所以 $\left[ g\left( x \right) \right] _{\max}=g\left( 2 \right) =\dfrac{7-e^2}{4}$ 。∴ $a\geqslant \dfrac{7-e^2}{4}$ 。