【015】2020高考全国1卷理数第21题

【015】2020高考全国1卷理数第21题

年级:高二,高三
年份:2020
类型:一题一课,真题解析
题型:解答题
难度:★★★★
时长:05:20
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2020高考数学真题解析:全国1卷理科数学第21题。

  1. 已知函数f\left( x \right) =e^x+ax^2-x

(1)当a=1时,讨论f\left( x \right)的单调性;

(2)当x\geqslant 0时,f\left( x \right) \geqslant \dfrac{1}{2}x^3+1,求a的取值范围。

解:(1)当a=1时,f\left( x \right) =e^x+x^2-xf'\left( x \right) =e^x+2x-1

由于f'\left( x \right)单调递增,且f'\left( 0 \right) =0,所以当x\in \left( -\infty ,0 \right)时,f'\left( x \right) <0f\left( x \right)单调递减;当x\in \left( 0,+\infty \right)时,f'\left( x \right) >0f\left( x \right)单调递增。

(2)f\left( x \right) \geqslant \dfrac{1}{2}x^3+1,即ax^2\geqslant \dfrac{1}{2}x^3+x+1-e^x

x=0时,对任意的a\in R都满足题意。

x>0时,即a\geqslant \dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{e^x}{x^2},令g\left( x \right) =\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{e^x}{x^2}

g'\left( x \right) =\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{2}{x^3}-\dfrac{e^x\left( x-2 \right)}{x^3} =\dfrac{\dfrac{1}{2}x^3-x-2}{x^3}-\dfrac{e^x\left( x-2 \right)}{x^3}

=\dfrac{\left( x-2 \right) \left( \dfrac{1}{2}x^2+x+1 \right)}{x^3}-\dfrac{e^x\left( x-2 \right)}{x^3} =\dfrac{\left( x-2 \right) \left( \dfrac{1}{2}x^2+x+1-e^x \right)}{x^3}

h\left( x \right) =\dfrac{1}{2}x^2+x+1-e^x,则h'\left( x \right) =x+1-e^xh''\left( x \right) =1-e^x

∵当x>0时,h''\left( x \right) <0,∴h'\left( x \right)单调递减

h'\left( x \right) <h'\left( 0 \right) =0,∴h\left( x \right)单调递减,h\left( x \right) <h\left( 0 \right) =0

所以当x\in \left( 0,2 \right)时,g'\left( x \right) >0g\left( x \right)单调递增;当x\in \left( 2,+\infty \right)时,g'\left( x \right) <0g\left( x \right)单调递减,所以\left[ g\left( x \right) \right] _{\max}=g\left( 2 \right) =\dfrac{7-e^2}{4}。∴a\geqslant \dfrac{7-e^2}{4}

综上,a\geqslant \dfrac{7-e^2}{4}


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