【016】2020高考全国1卷文数第16题

【016】2020高考全国1卷文数第16题

年级:高二,高三
年份:2020
类型:一题一课,真题解析
题型:填空题
难度:★★★
时长:06:52
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2020高考数学真题解析:全国1卷文科数学第16题

  1. 数列\left\{ a_n \right\}满足a_{n+2}+\left( -1 \right) ^na_n=3n-1,前16项和为540,则a_1=             

解:(1)当n为偶数时,a_{n+2}+a_n=3n-1,分别令n=2,6,10,14得:

a_2+a_4+\cdots +a_{16}=5+17+29+41=92

(2)当n为奇数时,a_{n+2}-a_n=3n-1

a_n-a_{n-2}=3\left( n-2 \right) -1a_{n-2}-a_{n-4}=3\left( n-4 \right) -1,……,a_3-a_1=3\times 1-1

累加得:a_n-a_1=3\times \left[ 1+3+\cdots +\left( n-2 \right) \right] -1\times \dfrac{n-1}{2} =\dfrac{3}{4}\left( n-1 \right) ^2-\dfrac{1}{2}\left( n-1 \right)

a_n=a_1+\dfrac{3}{4}\left( n-1 \right) ^2-\dfrac{1}{2}\left( n-1 \right)

b_n=a_{2n-1},则b_n=a_1+3\left( n-1 \right) ^2-\left( n-1 \right)

a_1+a_3+\cdots a_{15}=b_1+b_2+\cdots +b_8 =8a_1+3\times \left( 1^2+2^2+\cdots +7^2 \right) -\left( 1+2+\cdots +7 \right) =8a_1+3\times \dfrac{7\times 8\times 15}{6}-\dfrac{7\times 8}{2} =8a_1+420-28=8a_1+392

所以S_{16}=92+8a_1+392=540,解得a_1=7


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