【017】2020高考全国1卷文数第20题

【017】2020高考全国1卷文数第20题

年级:高二,高三
年份:2020
类型:一题一课,真题解析
题型:解答题
难度:★★★★
时长:09:12
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2020高考数学真题解析:全国1卷文科数学第20题

  1. 已知函数f\left( x \right) =e^x-a\left( x+2 \right)

(1)当a=1时,讨论f\left( x \right)的单调性;(2)若f\left( x \right)有两个零点,求a的取值范围。

解:(1)当a=1时,f\left( x \right) =e^x-x-2,则f'\left( x \right) =e^x-1

∴当x\in \left( -\infty ,0 \right)时,f'\left( x \right) <0f\left( x \right)单调递减;当x\in \left( 0,+\infty \right)时,f'\left( x \right) >0f\left( x \right)单调递增。

(2)f'\left( x \right) =e^x-a

①当a\leqslant 0时,f'\left( x \right) >0,所以f\left( x \right)\mathcal{R}上单调递增,故f\left( x \right)至多有1个零点,不符合题意。

②当a>0时,令f'\left( x \right) =0,解得x_0=\ln a

x\in \left( -\infty ,\ln a \right)时,f'\left( x \right) <0f\left( x \right)单调递减;当x\in \left( \ln a,+\infty \right)时,f'\left( x \right) >0f\left( x \right)单调递增。所以\left[ f\left( x \right) \right] _{\min}=f\left( \ln a \right) =-a\left( 1+\ln a \right)

(ⅰ)当-a\left( 1+\ln a \right) \geqslant 0,即0<a\leqslant \dfrac{1}{e}时,f\left( x \right)至多有1个零点,不符合题意。

(ⅱ)当-a\left( 1+\ln a \right) <0,即a>\dfrac{1}{e}

由于f\left( -2 \right) =e^{-2}>0,所以f\left( x \right)\left( -\infty ,\ln a \right)上存在唯一的零点。

g\left( x \right) =e^x-x^2\left( x\geqslant 1 \right),∴g'\left( x \right) =e^x-2xg''\left( x \right) =e^x-2

∵当x\geqslant 1时,g''\left( x \right) >0,∴g'\left( x \right)单调递增,∴g'\left( x \right) \geqslant g'\left( 1 \right) =e-2>0

g\left( x \right)单调递增,∴g\left( x \right) \geqslant g\left( 1 \right) =e-1>0,所以当x\geqslant 1时,e^x>x^2

显然a+2>1,所以f\left( a+2 \right) =e^{a+2}-a\left( a+4 \right)>\left( a+2 \right) ^2-a\left( a+4 \right) =4>0【怎么取出a+2这个“靓点”的,请看视频详细解析】

所以f\left( x \right)\left( \ln a,+\infty \right)上存在唯一的零点。所以当a>\dfrac{1}{e}时,f\left( x \right)\left( -\infty ,+\infty \right)上有两个零点,满足题意。

综上,a的取值范围为\left( \dfrac{1}{e},+\infty \right)


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