【017】2020高考全国1卷文数第20题

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2020高考数学真题解析：全国1卷文科数学第20题

已知函数 $f\left( x \right) =e^x-a\left( x+2 \right)$ 。

（1）当 $a=1$ 时，讨论 $f\left( x \right)$ 的单调性；（2）若 $f\left( x \right)$ 有两个零点，求 $a$ 的取值范围。

解：（1）当 $a=1$ 时， $f\left( x \right) =e^x-x-2$ ，则 $f'\left( x \right) =e^x-1$

∴当 $x\in \left( -\infty ,0 \right)$ 时， $f'\left( x \right) <0$ ， $f\left( x \right)$ 单调递减；当 $x\in \left( 0,+\infty \right)$ 时， $f'\left( x \right) >0$ ， $f\left( x \right)$ 单调递增。

（2） $f'\left( x \right) =e^x-a$

①当 $a\leqslant 0$ 时， $f'\left( x \right) >0$ ，所以 $f\left( x \right)$ 在 $\mathcal{R}$ 上单调递增，故 $f\left( x \right)$ 至多有1个零点，不符合题意。

②当 $a>0$ 时，令 $f'\left( x \right) =0$ ，解得 $x_0=\ln a$

当 $x\in \left( -\infty ,\ln a \right)$ 时， $f'\left( x \right) <0$ ， $f\left( x \right)$ 单调递减；当 $x\in \left( \ln a,+\infty \right)$ 时， $f'\left( x \right) >0$ ， $f\left( x \right)$ 单调递增。所以 $\left[ f\left( x \right) \right] _{\min}=f\left( \ln a \right) =-a\left( 1+\ln a \right)$

（ⅰ）当 $-a\left( 1+\ln a \right) \geqslant 0$ ，即 $0<a\leqslant \dfrac{1}{e}$ 时， $f\left( x \right)$ 至多有1个零点，不符合题意。

（ⅱ）当 $-a\left( 1+\ln a \right) <0$ ，即 $a>\dfrac{1}{e}$ 时

由于 $f\left( -2 \right) =e^{-2}>0$ ，所以 $f\left( x \right)$ 在 $\left( -\infty ,\ln a \right)$ 上存在唯一的零点。

令 $g\left( x \right) =e^x-x^2\left( x\geqslant 1 \right)$ ，∴ $g'\left( x \right) =e^x-2x$ ， $g''\left( x \right) =e^x-2$

∵当 $x\geqslant 1$ 时， $g''\left( x \right) >0$ ，∴ $g'\left( x \right)$ 单调递增，∴ $g'\left( x \right) \geqslant g'\left( 1 \right) =e-2>0$

∴ $g\left( x \right)$ 单调递增，∴ $g\left( x \right) \geqslant g\left( 1 \right) =e-1>0$ ，所以当 $x\geqslant 1$ 时， $e^x>x^2$

显然 $a+2>1$ ，所以 $f\left( a+2 \right) =e^{a+2}-a\left( a+4 \right)$ $>\left( a+2 \right) ^2-a\left( a+4 \right) =4>0$ 【怎么取出 $a+2$ 这个“靓点”的，请看视频详细解析】

所以 $f\left( x \right)$ 在 $\left( \ln a,+\infty \right)$ 上存在唯一的零点。所以当 $a>\dfrac{1}{e}$ 时， $f\left( x \right)$ 在 $\left( -\infty ,+\infty \right)$ 上有两个零点，满足题意。

综上， $a$ 的取值范围为 $\left( \dfrac{1}{e},+\infty \right)$ 。

详细思路分析请看视频讲解，电子版文档请下载。

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