【019】2020高考全国3卷理数第16题

【019】2020高考全国3卷理数第16题

年级:高一,高二,高三
年份:2020
类型:一题一课,真题解析
题型:单选题
难度:★★★
时长:02:40
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019 2020高考数学真题解析:全国3卷理科数学第16题

  1. 关于函数f\left( x \right) =\sin x+\dfrac{1}{\sin x}有如下四个命题:

f\left( x \right)的图像关于y轴对称。

f\left( x \right)的图像关于原点对称。

f\left( x \right)的图像关于直线x=\dfrac{\pi}{2}对称。

f\left( x \right)的最小值为2

其中所有真命题的序号是        

解:\sin x\ne 0f\left( x \right)的定义域为\left\{ x\mid x\ne k\pi ,k\in \mathcal{Z} \right\},定义域关于原点对称,且定义域关于x=\dfrac{\pi}{2}对称。

因为f\left( -x \right) =\sin \left( -x \right) +\dfrac{1}{\sin \left( -x \right)}=-\sin x-\dfrac{1}{\sin x}=-f\left( x \right),所以f\left( x \right)的图像关于原点对称,②对①错。

因为f\left( \pi -x \right) =\sin \left( \pi -x \right) +\dfrac{1}{\sin \left( \pi -x \right)}=\sin x+\dfrac{1}{\sin x}=f\left( x \right),所以f\left( x \right)的图像关于x=\dfrac{\pi}{2}轴对称,③对。

\sin x<0时,f\left( x \right) <0,④错。

故所有真命题的序号是②③。

对④,令t=\sin x,则t\in \left[ -1,0 \right) \cup \left( 0,1 \right],对勾函数g\left( t \right) =t+\dfrac{1}{t}t\in \left[ -1,0 \right) \cup \left( 0,1 \right])的值域为g\left( t \right) \in \left( -\infty ,-1 \right] \cup \left[ 1,+\infty \right),所以f\left( x \right)无最小值。


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