【一轮2-2】求函数的解析式

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本课程讲解求解函数解析式的4种方法，分别是：待定系数法，换元法，配凑法，函数方程法。

例1（待定系数法）. $f\left( x \right)$ 为二次函数且 $f\left( 0 \right) =3$ ， $f\left( x+2 \right) -f\left( x \right) =4x+2$ ，求 $f\left( x \right)$ 。【 $f\left( x \right) =x^2-x+3$ 】

解：设 $f\left( x \right) =ax^2+bx+c\left( a\ne 0 \right)$ ，则 $f\left( 0 \right) =c=3$

$f\left( x+2 \right) -f\left( x \right) =a\left( x+2 \right) ^2+b\left( x+2 \right) -ax^2-bx=4ax+4a+2b=4x+2$

∴ $\begin{cases} 4a=4\\ 4a+2b=2\\\end{cases}$ ，解得 $\begin{cases} a=1\\ b=-1\\\end{cases}$ ，∴ $f\left( x \right) =x^2-x+3$

例2（换元法）. 已知 $f\left( \ddfrac{2}{x}+1 \right) =\lg x$ ，求 $f\left( x \right)$ 。【 $f\left( x \right) =\lg \dfrac{2}{x-1}$ 】

解：令 $t=\dfrac{2}{x}+1$ ，则 $t\ne 1$ ， $x=\dfrac{2}{t-1}$ ，∴ $f\left( t \right) =\lg \dfrac{2}{t-1}\,\,\left( t\ne 1 \right)$

∴ $f\left( x \right) =\lg \dfrac{2}{x-1}\,\,\left( x\ne 1 \right)$

例3（配凑法）.已知 $f\left( x+\dfrac{1}{x} \right) =x^2+\dfrac{1}{x^2}$ ，则 $f\left( x \right) =$ 。【 $x^2-2 \left( x\leqslant -2 \text{或} x\geqslant 2 \right)$ 】

解：∵ $f\left( x+\dfrac{1}{x} \right) =x^2+\dfrac{1}{x^2}=\left( x+\dfrac{1}{x} \right) ^2-2$

∴ $f\left( x \right) =x^2-2 \left( x\leqslant -2 \text{或} x\geqslant 2 \right)$

例4（函数方程法）. 已知 $f\left( x \right)$ 满足 $2f\left( x \right) +f\left( \dfrac{1}{x} \right) =3x-1$ ，则 $f\left( x \right) =$ 。【 $2x-\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{3}\left( x\ne 0 \right)$ 】

解： $\begin{cases} 2f\left( x \right) +f\left( \dfrac{1}{x} \right) =3x-1\cdots \cdots\\ 2f\left( \dfrac{1}{x} \right) +f\left( x \right) =\dfrac{3}{x}-1\cdots \cdots\\\end{cases}$ ，① $\times 2-$ ②得： $3f\left( x \right) =6x-\dfrac{3}{x}-1$

∴ $f\left( x \right) =2x-\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{3}\,\,\left( x\ne 0 \right)$

详细解答请看视频讲解，课后练习请下载。

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