【一轮2-3】分段函数(上)

【一轮2-3】分段函数(上)

年级:高一,高二,高三
年份:2020
类型:一轮复习
题型:单选题,填空题
难度:★★★
时长:06:47
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高考数学一轮复习:分段函数(上)。有关分段函数的求值和解不等式。

一、求值

例1. 已知函数f\left( x \right) =\begin{cases} \sin \left( \pi x+\dfrac{\pi}{6} \right) , x\leqslant 0\\     2^x+1, x>0\\\end{cases},则f\left( -2 \right) +f\left( 1 \right) =(     )

A. \dfrac{6+\sqrt{3}}{2}

B. \dfrac{6-\sqrt{3}}{2}

C. \dfrac{7}{2}

D. \dfrac{5}{2}

解:f\left( -2 \right) +f\left( 1 \right) =\sin \left( -2\pi +\dfrac{\pi}{6} \right) +2^1+1=\sin \dfrac{\pi}{6}+3=\dfrac{7}{2},故选C。

例2. 设f\left( x \right) =\begin{cases}    \sqrt{x}, 0<x<1\\   2\left( x-1 \right) , x\geqslant 1\\\end{cases},若f\left( a \right) =f\left( a+1 \right),则f\left( \dfrac{1}{a} \right) =(   )

A.2      B. 4      C. 6     D. 8

解:由于在\left[ 1,+\infty \right)f\left( x \right)单调递增,所以只能是0<a<1<a+1,∴\sqrt{a}=2\left( a+1-1 \right),解得a=\dfrac{1}{4},∴f\left( \dfrac{1}{a} \right) =f\left( 4 \right) =6。故选C。

二、解不等式

例3. 设函数f\left( x \right) =\begin{cases}    x+1, x\leqslant 0\\ 2^x, x>0\\\end{cases},则满足f\left( x \right) +f\left( x-\dfrac{1}{2} \right) >1x的取值范围是     

解:(1)当x-\dfrac{1}{2}<x\leqslant 0,即x\leqslant 0时,f\left( x \right) +f\left( x-\dfrac{1}{2} \right) =2x+\dfrac{3}{2}>1,解得-\dfrac{1}{4}<x\leqslant 0

(2)当x-\dfrac{1}{2}\leqslant 0<x,即0<x\leqslant \dfrac{1}{2}时,f\left( x \right) +f\left( x-\dfrac{1}{2} \right) =2^x+x+\dfrac{1}{2}>1恒成立,∴0<x\leqslant \dfrac{1}{2}

(3)当0<x-\dfrac{1}{2}<x,即x>\dfrac{1}{2}时,f\left( x \right) +f\left( x-\dfrac{1}{2} \right) =2^x+2^{x-\dfrac{1}{2}}>1恒成立,∴x>\dfrac{1}{2}

综上:x\in \left( -\dfrac{1}{4},+\infty \right)

例4. 已知函数f\left( x \right) =\begin{cases} 2^{2-x}, x<2\\ \dfrac{3}{4}x^2-3x+4, x\geqslant 2\\\end{cases},若不等式a\leqslant f\left( x \right) \leqslant b的解集恰好为\left[ a,b \right],则b-a=       

解:先画出函数图像:

(1)当1<a<b时,如图所示,不等式a\leqslant f\left( x \right) \leqslant b的解集应该为\left[ x_1,x_2 \right] \cup \left[ x_3,x_4 \right]这样的形式,不符合题意。

(2)当a\leqslant 1<b时,要使a\leqslant f\left( x \right) \leqslant b的解集为\left[ a,b \right],须f\left( b \right) =bb\geqslant 2

\dfrac{3}{4}b^2-3b+4=b,解得b=4。再由2^{2-a}=4,解得a=0。∴b-a=4

详细解答请看视频讲解,课后练习请下载。

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