【一轮2-4】分段函数（下）

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高考数学一轮复习：分段函数（下）。分段函数求参数范围。

三、求参数

例5. 设函数 $f\left( x \right) =\begin{cases} 3x-b, x<1\\ 2^x, x\geqslant 1\\\end{cases}$ ，若 $f\left( f\left( \dfrac{5}{6} \right) \right) =4$ ，则 $b=$ （）

A. 1 B. $\dfrac{7}{8}$ C. $\dfrac{3}{4}$ D. $\dfrac{1}{2}$

解： $f\left( \dfrac{5}{6} \right) =3\times \dfrac{5}{6}-b=\dfrac{5}{2}-b$

（1）当 $\dfrac{5}{2}-b<1$ ，即 $b>\dfrac{3}{2}$ 时， $f\left( f\left( \dfrac{5}{6} \right) \right) =f\left( \dfrac{5}{2}-b \right) =3\left( \dfrac{5}{2}-b \right) -b=\dfrac{15}{2}-4b=4$ ，解得，舍。

（2）当 $\dfrac{5}{2}-b\geqslant 1$ ，即 $b\leqslant \dfrac{3}{2}$ 时， $f\left( \dfrac{5}{2}-b \right) =2^{\frac{5}{2}-b}=4$ ，解得 $b=\dfrac{1}{2}$ ，符合题意。

故选D。

例6. 设函数 $f\left( x \right) =\begin{cases} 2^{-x}, x<1\\ \dfrac{x}{2}, x\geqslant 1\\\end{cases}$ ，则满足 $2f\left( f\left( a \right) \right) =f\left( a \right)$ 的 $a$ 的取值范围是（）

A. $\left( -\infty ,0 \right]$ B. $\left[ 0,2 \right]$ C. $\left[ 2,+\infty \right)$ D. $\left( -\infty ,0 \right] \cup \left[ 2,+\infty \right)$

解：要使 $2f\left( f\left( a \right) \right) =f\left( a \right)$ ，即 $f\left( f\left( a \right) \right) =\dfrac{f\left( a \right)}{2}$ ，需 $f\left( a \right) \geqslant 1$ ，接下来即解不等式。

如图，由 $f\left( x \right) =1$ 解得 $x_1=1$ ， $x_2=2$ ，所以 $f\left( a \right) \geqslant 1$ 的解集为： $\left( -\infty ,0 \right] \cup \left[ 2,+\infty \right)$ 。故选D。

例7. 若函数 $f\left( x \right) =\begin{cases} -x+6, x\leqslant 2\\ 3+\log _ax, x>2\\\end{cases}$ （ $a>0$ 且 $a\ne 1$ ）的值域是 $\left[ 4,+\infty \right)$ ，则实数 $a$ 的取值范围是。

解：先画出 $x\leqslant 2$ 部分的图像：

由图知，当 $x\leqslant 2$ 时，函数的值域即为 $\left[ 4,+\infty \right)$ ，要使 $x\in \mathcal{R}$ 时的值域也为 $\left[ 4,+\infty \right)$ ，等价于要求当 $x>2$ 部分的值域包含于 $\left[ 4,+\infty \right)$ 。∴ $\begin{cases} a>1\\ 3+\log _a2\geqslant 4\\\end{cases}$ ，解得 $1<a\leqslant 2$ 。