【一轮2-4】分段函数(下)

【一轮2-4】分段函数(下)

年级:高一,高二,高三
年份:2020
类型:一轮复习
题型:单选题,填空题
难度:★★★
时长:07:04
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高考数学一轮复习:分段函数(下)。分段函数求参数范围。

三、求参数

例5. 设函数f\left( x \right) =\begin{cases}    3x-b, x<1\\     2^x, x\geqslant 1\\\end{cases},若f\left( f\left( \dfrac{5}{6} \right) \right) =4,则b=(   )

A. 1        B. \dfrac{7}{8}        C. \dfrac{3}{4}         D. \dfrac{1}{2}

解:f\left( \dfrac{5}{6} \right) =3\times \dfrac{5}{6}-b=\dfrac{5}{2}-b

(1)当\dfrac{5}{2}-b<1,即b>\dfrac{3}{2}时,f\left( f\left( \dfrac{5}{6} \right) \right) =f\left( \dfrac{5}{2}-b \right) =3\left( \dfrac{5}{2}-b \right) -b=\dfrac{15}{2}-4b=4,解得,舍。

(2)当\dfrac{5}{2}-b\geqslant 1,即b\leqslant \dfrac{3}{2}时,f\left( \dfrac{5}{2}-b \right) =2^{\frac{5}{2}-b}=4,解得b=\dfrac{1}{2},符合题意。

故选D。

例6. 设函数f\left( x \right) =\begin{cases}    2^{-x}, x<1\\  \dfrac{x}{2}, x\geqslant 1\\\end{cases},则满足2f\left( f\left( a \right) \right) =f\left( a \right)a的取值范围是(   )

A. \left( -\infty ,0 \right]         B. \left[ 0,2 \right]         C. \left[ 2,+\infty \right)           D. \left( -\infty ,0 \right] \cup \left[ 2,+\infty \right)

解:要使2f\left( f\left( a \right) \right) =f\left( a \right),即f\left( f\left( a \right) \right) =\dfrac{f\left( a \right)}{2},需f\left( a \right) \geqslant 1,接下来即解不等式。

如图,由f\left( x \right) =1解得x_1=1x_2=2,所以f\left( a \right) \geqslant 1的解集为:\left( -\infty ,0 \right] \cup \left[ 2,+\infty \right)。故选D。

例7. 若函数f\left( x \right) =\begin{cases}    -x+6, x\leqslant 2\\       3+\log _ax, x>2\\\end{cases}a>0a\ne 1)的值域是\left[ 4,+\infty \right),则实数a的取值范围是     

解:先画出x\leqslant 2部分的图像:

由图知,当x\leqslant 2时,函数的值域即为\left[ 4,+\infty \right),要使x\in \mathcal{R}时的值域也为\left[ 4,+\infty \right),等价于要求当x>2部分的值域包含于\left[ 4,+\infty \right)。∴\begin{cases}      a>1\\       3+\log _a2\geqslant 4\\\end{cases},解得1<a\leqslant 2

例8. 设函数f\left( x \right) =\begin{cases}    x^3-3x, x\leqslant a\\   -2x, x>a\\\end{cases}

(1)若a=0,则f\left( x \right)的最大值为     

(2)若f\left( x \right)无最大值,则实数a的取值范围是     

解:由于参数是分界点,故我们分别画出y=x^3-3xy=-2x的图像:

(1)当a=0时,f\left( x \right)的图像如图,显然f\left( x \right) _{\max}=f\left( -1 \right) =2

(2)我们画出分界线x=a,在分界线左侧取y=x^3-3x,右侧取y=-2x,注意x=a在左侧取到。然后平移分界线,观察其位于什么位置时,能满足f\left( x \right)没有最大值这个要求。

得:a\in \left( -\infty ,-1 \right)

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