【精品专题】等和线：原理及应用

等和线在求解平面向量的系数和时，常常能体现出便捷性。本课程介绍等和线的原理及应用。

例1. 已知 $\bigtriangleup ABC$ 的外接圆 $O$ 的半径为 $1$ ，且 $\angle ABC=60^\circ$ 。若 $\overrightarrow{BO}=\lambda \overrightarrow{BA}+\mu \overrightarrow{BC}$ ，则 $\lambda +\mu$ 的最大值为。

例2. 如图，在 $\bigtriangleup ABC$ 中，点 $E$ 为 $AB$ 边的中点，点 $F$ 在 $AC$ 边上，且 $CF=2FA$ ， $BF$ 交 $CE$ 于点 $M$ ，设 $\overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{AE}+y\overrightarrow{AF}$ ，则 $x+y=$ 。

例3. 在正方形 $ABCD$ 中， $E$ 为 $BC$ 中点， $P$ 为以 $AB$ 为直径的半圆弧上任意一点，设 $\overrightarrow{AE}=x\overrightarrow{AD}+y\overrightarrow{AP}$ ，则 $2x+y$ 的最小值为。

例4. 如图，在平行四边形 $ABCD中$ ， $M$ 、 $N$ 为 $CD$ 边的三等分点， $S$ 为 $AM$ 与 $BN$ 的交点， $P$ 为边 $AB$ 边上一动点， $Q$ 为 $\bigtriangleup SMN$ 内一点（含边界），若 $\overrightarrow{PQ}=x\overrightarrow{AM}+y\overrightarrow{BN}$ ，则 $x+y$ 的取值范围是。