【020】2020高考全国3卷理数第20题(文数第21题)

【020】2020高考全国3卷理数第20题(文数第21题)

年级:高二,高三
年份:2020
类型:一题一课,真题解析
题型:解答题
难度:★★★★
时长:07:28
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2020高考数学真题解析:全国3卷理科数学第20题(文数第21题),两条线段长度相等且互相垂直的翻译。

  1. 已知椭圆C: \dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{m^2}=1\left( 0<m<5 \right)的离心率为\dfrac{\sqrt{15}}{4}AB分别为C的左、右顶点。

(1)求C的方程;

(2)若点PC上,点Q在直线x=6上,且\left| BP \right|=\left| BQ \right|BP\bot BQ,求\bigtriangleup APQ的面积。

解:(1)由e=\dfrac{\sqrt{25-m^2}}{5}=\dfrac{\sqrt{15}}{4},解得m^2=\dfrac{25}{16},所以C的方程为\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{\frac{25}{16}}=1

(2)A\left( -5,0 \right)B\left( 5,0 \right)

法1. 设Q\left( 6,t \right),由对称性,不妨设t>0

如图,设直线x=6x轴的交点为D,过点PPC\bot x轴于点C

\angle QBD+\angle PBC=90^\circ\angle BPC+\angle PBC=90^\circ,∴\angle QBD=\angle BPC,又\angle QDB=\angle BCP=90^\circBQ=PB,∴\bigtriangleup QBD\bigtriangleup BPC,∴BC=QD=tPC=BD=1

所以P点坐标为\left( 5-t,1 \right),代入椭圆方程得:\dfrac{\left( 5-t \right) ^2}{25}+\dfrac{16}{25}=1,解得t=2t=8

t=2时,P_1\left( 3,1 \right)Q_1\left( 6,2 \right)直线P_1Q_1: y=\dfrac{1}{3}x,经过原点,所以S_{\bigtriangleup APQ}=\dfrac{1}{2}\times 5\times \left( 2-1 \right) =\dfrac{5}{2}

t=8时,P_2\left( -3,1 \right)Q_2\left( 6,8 \right),直线P_2Q_2: y-1=\dfrac{7}{9}\left( x+3 \right),令y=0解得x=-\dfrac{30}{7},所以S_{\bigtriangleup APQ}=\dfrac{1}{2}\times \left( -\dfrac{30}{7}+5 \right) \times \left( 8-1 \right) =\dfrac{5}{2}

综上,\bigtriangleup APQ的面积为\dfrac{5}{2}

法2. 由对称性,不妨设y_Q>0,则y_P>0

设直线BQ的斜率为k,则BQ=\sqrt{1+k^2}\left| x_Q-x_B \right|=\sqrt{1+k^2}

k_{BP}=-\dfrac{1}{k}BP=\sqrt{1+k^2}\left| y_B-y_P \right|=\sqrt{1+k^2}y_P

BP=BQ,∴y_P=1,代入椭圆方程解得x_P=3-3

k_{BP}=-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{8},∴k_{BQ}=28,所以y_Q=28

接下来同法1。

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