【021】2020高考全国3卷理数第21题

【021】2020高考全国3卷理数第21题

年级:高二,高三
年份:2020
类型:一题一课,真题解析
题型:解答题
难度:★★★★
时长:04:54
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2020高考数学真题解析:全国3卷理科数学第21题。第2问,证明等价转换后的命题,可真简单!

  1. 设函数f\left( x \right) =x^3+bx+c,曲线y=f\left( x \right)在点\left( \dfrac{1}{2},f\left( \dfrac{1}{2} \right) \right)处的切线与y轴垂直。

(1)求b

(2)若f\left( x \right)有一个绝对值不大于1的零点,证明:f\left( x \right)所有零点的绝对值都不大于1。

解:(1)f'\left( x \right) =3x^2+b,由题意得f'\left( \dfrac{1}{2} \right) =\dfrac{3}{4}+b=0,解得b=-\dfrac{3}{4}

(2)f\left( x \right) =x^3-\dfrac{3}{4}x+c,设该绝对值不大于1的零点为x_0,即\left| x_0 \right|\leqslant 1,且f\left( x_0 \right) =x_{0}^{3}-\dfrac{3}{4}x_0+c=0

x_{0}^{3}-\dfrac{3}{4}x_0=-c,令g\left( x \right) =x^3-\dfrac{3}{4}x

g'\left( x \right) =3x^2-\dfrac{3}{4},令g'\left( x \right) =0,解得x=-\dfrac{1}{2}x=\dfrac{1}{2}

x\in \left( -\infty ,-\dfrac{1}{2} \right)时,g'\left( x \right) >0g\left( x \right)单调递增;当x\in \left( -\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2} \right)时,g'\left( x \right) <0g\left( x \right)单调递减;当x\in \left( \dfrac{1}{2},+\infty \right)时,g'\left( x \right) >0g\left( x \right)单调递增,且g\left( -1 \right) =g\left( \dfrac{1}{2} \right) =-\dfrac{1}{4}g\left( -\dfrac{1}{2} \right) =g\left( 1 \right) =\dfrac{1}{4}

∴当x_0\in \left[ -1,1 \right]时,-c=g\left( x_0 \right) \in \left[ -\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{4} \right],所以c\in \left[ -\dfrac{1}{4},\dfrac{1}{4} \right]

显然f'\left( x \right) =g'\left( x \right),∴f\left( x \right)\left( -\infty \text{,}-1 \right],以及\left[ 1,+\infty \right)上都单调递增

所以当x\in \left( -\infty ,-1 \right)时,f\left( x \right) <f\left( -1 \right) =-\dfrac{1}{4}+c\leqslant 0;当x\in \left( 1,+\infty \right)时,f\left( x \right) >f\left( 1 \right) =\dfrac{1}{4}+c\geqslant 0

所以当x\in \left( -\infty ,-1 \right) \cup \left( 1,+\infty \right)时,f\left( x \right)都不存在零点,即f\left( x \right)所有零点的绝对值都不大于1。

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