【022】动态的分界点(分段函数的分界点含参数)

【022】动态的分界点(分段函数的分界点含参数)

年级:高一,高二,高三
年份:2020
类型:一题一课
题型:填空题
难度:★★★
时长:02:05
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【文末有geogebra互动式探究动画,欢迎体验】

参数出现在分段函数的分界点处时,我们该怎么处理呢?

【题022】设函数f\left( x \right) =\begin{cases}   x^3-3x, x\leqslant a\\   -2x, x>a\\\end{cases}

(1)若a=0,则f\left( x \right)的最大值为     

(2)若f\left( x \right)无最大值,则实数a的取值范围是     

解:由于参数是分界点,故我们分别画出y=x^3-3xy=-2x的图像。求导得到,y=x^3-3xx=-1处取到极大值2,在x=1处取到极小值-2

(1)当a=0时,f\left( x \right) =\begin{cases}  x^3-3x, x\leqslant 0\\   -2x, x>0\\\end{cases},由图知f\left( x \right) _{\max}=f\left( -1 \right) =2

(2)我们画出分界线x=a,在分界线左侧取y=x^3-3x,右侧取y=-2x,注意x=a在左侧取到。然后平移分界线,观察其位于什么位置时,能满足f\left( x \right)没有最大值这个要求。

情形1:当a<-1时,由于右侧部分取不到x=a所对应的函数值,所以f\left( x \right)没有最大值,满足要求。

情形2:当-1\leqslant a\leqslant x_0时,f\left( x \right)x=-1处取到最大值2,不满足要求。

情形3:当a>x_0时,由于左侧部分可以取到x=a,所以f\left( x \right)x=a处取到最大值。

综上所述,满足要求的a的取值范围为a\in \left( -\infty ,-1 \right)

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