【023】等差数列奇数项的和

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等差数列的奇数项和等于项数乘以中间项，这个小结论经常有一些巧妙的应用。

【题023-1】公差不为 $0$ 的等差数列 $\left\{ a_n \right\}$ 的前 $23$ 项的和等于前 $8$ 项的和。若 $a_8+a_k=0$ ，则 $k=$ （）

A. $22$ B. $23$ C. $24$ D. $25$

解：由 $S_{23}=S_8$ 知， $a_9+a_{10}+\cdots +a_{23}$ $=15a_{16}=0$ ，∴ $a_{16}=0$

∴ $a_8+a_{24}=2a_{16}=0$ ，又 $d\ne 0$ ，数列 $\left\{ a_n \right\}$ 的每一项互不相等，∴ $k=24$

【题023-2】已知等差数列 $\left\{ a_n \right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，且 $a_2=3$ ，则满足 $S_m-S_{m-3}=51$ （ $m>3$ ）， $S_m=100$ 的实数 $m$ 的值为（）

A. $8$ B. $9$ C. $10$ D. $11$

解：由 $S_m-S_{m-3}=51$ ，得 $a_{m-2}+a_{m-1}+a_m$ $=3a_{m-1}=51$ ，∴ $a_{m-1}=17$

所以 $S_m=\dfrac{m\left( a_1+a_m \right)}{2}$ $=\dfrac{m\left( a_2+a_{m-1} \right)}{2}$ $=\dfrac{m\times 20}{2}=100$ ，解得 $m=10$

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