【024】等和线找几何意义,极化恒等式求最值

【024】等和线找几何意义,极化恒等式求最值

年级:高一,高二,高三
年份:2020
类型:一题一课
题型:填空题
难度:★★★★
时长:04:58
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高中数学一题一课024:用等和线挖掘恒成立条件的几何意义,极化恒等式求最值。

【题024】已知\bigtriangleup ABC中,AB=2AC=1,当2x+y=t\left( t>0 \right)时,\left| x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC} \right|\geqslant \dfrac{\sqrt{2}}{2}t恒成立(可以取等),则\bigtriangleup ABC的面积为        ,在上述条件下,对于\bigtriangleup ABC内一点P\overrightarrow{PA}\cdot \left( \overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC} \right)的最小值是        

解:设AB的中点为B',则\overrightarrow{AB'}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}

\overrightarrow{AG}=\dfrac{2x}{t}\overrightarrow{AB'}+\dfrac{y}{t}\overrightarrow{AC},由2x+y=t\left( t>0 \right),得\dfrac{2x}{t}+\dfrac{y}{t}=1,所以点G在直线B'C上。

\left| x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC} \right|\geqslant \dfrac{\sqrt{2}}{2}t恒成立,即\left| \dfrac{2x}{t}\overrightarrow{AB'}+\dfrac{y}{t}\overrightarrow{AC} \right|\geqslant \dfrac{\sqrt{2}}{2}恒成立,即\left| \overrightarrow{AG} \right|\geqslant \dfrac{\sqrt{2}}{2}恒成立且能取到等号,由于点G在直线B'C上,所以点A到直线B'C的距离AD=\dfrac{\sqrt{2}}{2}

\therefore B'D=DC=\dfrac{\sqrt{2}}{2}B'C=\sqrt{2}\therefore AB'^2+AC^2=B'C^2\therefore AB\bot AC

所以S_{\bigtriangleup ABC}=\dfrac{1}{2}\times 2\times 1=1

BC的中点为MAM的中点为N,因为\bigtriangleup ABC是直角三角形,所以AM=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{\sqrt{5}}{2}

\overrightarrow{PA}\cdot \left( \overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC} \right) =2\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PM} =\dfrac{1}{2}\left[ \left( \overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PM} \right) ^2-\left( \overrightarrow{PA}-\overrightarrow{PM} \right) ^2 \right] =\dfrac{1}{2}\left[ 4\left| \overrightarrow{PN} \right|^2-\left| \overrightarrow{MA} \right|^2 \right] \geqslant -\dfrac{1}{2}\left| \overrightarrow{MA} \right|^2 =-\dfrac{5}{8}(当PN点时等号成立)

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