【025】双曲线焦半径公式巧解压轴小题，比例转化

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高中数学一题一课025：双曲线焦半径公式巧解压轴小题，比例转化

【题025】如图，过双曲线 $C$ ： $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\left( a>0,b>0 \right)$ 的右焦点 $F$ 作直线 $y=\dfrac{b}{a}x$ 的垂线 $l$ ，垂足为 $H$ ，直线 $l$ 与双曲线 $C$ 的左、右两支分别交于 $A$ 、 $B$ 两点，且 $\left| AB \right|=4\left| BH \right|$ ， $\left| FH \right|=6$ ，则双曲线 $C$ 的方程为。

解：因为 $\text{HF}\bot \text{HO}$ ，所以 $b=\left| FH \right|=6$ ，且 $\cos \theta =\dfrac{b}{c}$ 。

由焦半径公式得： $\left| AF \right|=\dfrac{b^2}{c\cos \theta -a}=\dfrac{b^2}{b-a}$ ， $\left| BF \right|=\dfrac{b^2}{c\cos \theta +a}=\dfrac{b^2}{b+a}$ ，又 $\left| HF \right|=b$ ，∴ $\left| AF \right|:\left| BF \right|:\left| HF \right|=\dfrac{1}{b-a}:\dfrac{1}{b+a}:\dfrac{1}{b}$

∴ $\dfrac{\left| AB \right|}{\left| BH \right|}=\dfrac{\left| AF \right|-\left| BF \right|}{\left| HF \right|-\left| BF \right|}$ $=\dfrac{\frac{1}{b-a}-\frac{1}{b+a}}{\frac{1}{b}-\frac{1}{b+a}}$ $=\dfrac{2b}{b-a}=4$ ，所以 $b=2a$ ， $a=3$