【025】双曲线焦半径公式巧解压轴小题,比例转化

【025】双曲线焦半径公式巧解压轴小题,比例转化

年级:高二,高三
年份:2020
类型:一题一课
题型:填空题
难度:★★★★
时长:05:25
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高中数学一题一课025:双曲线焦半径公式巧解压轴小题,比例转化

【题025】如图,过双曲线C\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\left( a>0,b>0 \right)的右焦点F作直线y=\dfrac{b}{a}x的垂线l,垂足为H,直线l与双曲线C的左、右两支分别交于AB两点,且\left| AB \right|=4\left| BH \right|\left| FH \right|=6,则双曲线C的方程为         

解:因为\text{HF}\bot \text{HO},所以b=\left| FH \right|=6,且\cos \theta =\dfrac{b}{c}

由焦半径公式得:\left| AF \right|=\dfrac{b^2}{c\cos \theta -a}=\dfrac{b^2}{b-a}\left| BF \right|=\dfrac{b^2}{c\cos \theta +a}=\dfrac{b^2}{b+a},又\left| HF \right|=b,∴\left| AF \right|:\left| BF \right|:\left| HF \right|=\dfrac{1}{b-a}:\dfrac{1}{b+a}:\dfrac{1}{b}

\dfrac{\left| AB \right|}{\left| BH \right|}=\dfrac{\left| AF \right|-\left| BF \right|}{\left| HF \right|-\left| BF \right|} =\dfrac{\frac{1}{b-a}-\frac{1}{b+a}}{\frac{1}{b}-\frac{1}{b+a}}=\dfrac{2b}{b-a}=4,所以b=2aa=3

所以双曲线C的方程为:\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{36}=1

【为什么b=\left| FH \right|,以及焦半径公式的推导请看视频】

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