高中数学精品视频课程：几何意义解向量题（上）

为方便叙述，本课中，我们都通过平移使得 $\overrightarrow{a}$ ， $\overrightarrow{b}$ ， $\overrightarrow{c}$ 有相同的起点O，它们的终点分别为A，B，C。

思路1：如果 $\overrightarrow{a}=\lambda \overrightarrow{b}$ ，则O，A，B三点共线。

例1. O是平行四边形ABCD所在平面内的一点， $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\lambda \left( \overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD} \right)$ ， $\overrightarrow{OA}=\mu \left( \overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC} \right)$ ，则 $\lambda =$ 。

思路2： $\left| \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right|$ 、 $\left| \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right|$ 分别表示两条对角线AB，OD的长度。

例2. 已知 $\left| \overrightarrow{a} \right|=\left| \overrightarrow{b} \right|=1$ ，向量 $\overrightarrow{c}$ 满足 $\left| \overrightarrow{c}-\left( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right) \right|=\left| \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right|$ ，则 $\left| \overrightarrow{c} \right|$ 的最大值为。

例3. 设A，B在圆 $x^2+y^2=1$ 上运动，且 $\left| AB \right|=\sqrt{3}$ ，点P在直线 $3x+4y-12=0$ 上运动，则 $\left| \overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB} \right|$ 的最小值为（）

A. 3 B. 4 C. $\dfrac{17}{5}$ D. $\dfrac{19}{5}$

思路3： $\left| \overrightarrow{b}-t\overrightarrow{a} \right|\left( t\in R \right)$ 表示B点与直线OA上任意一点之间的距离，显然，该距离的最小值为点B到直线OA的垂线段长度。

例4. 已知平面向量 $\overrightarrow{\alpha }$ ， $\overrightarrow{\beta }$ 满足 $\left| \overrightarrow{\alpha }-2\overrightarrow{\beta } \right|=\sqrt{3}$ ，且 $\overrightarrow{\alpha }+\overrightarrow{\beta }$ 与 $\overrightarrow{\alpha }-2\overrightarrow{\beta }$ 的夹角为150°，则 $\left| t\left( \overrightarrow{\alpha }+\overrightarrow{\beta } \right) -\dfrac{3}{2}\overrightarrow{\beta } \right|\left( t\in R \right)$ 的最小值是（）