高中数学精品视频课程：几何意义解向量题（下）

思路4：如果 $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=0$ ，则 $OA\bot OB$ 。如果 $\overrightarrow{b}\cdot \left( \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right) =0$ ，则B在以OA为直径的圆上。如果 $\left( \overrightarrow{a}-\overrightarrow{c} \right) \cdot \left( \overrightarrow{b}-\overrightarrow{c} \right) =0$ ，则C在以AB为直径的圆上。

例6. 已知 $\overrightarrow{a}$ ， $\overrightarrow{b}$ ， $\overrightarrow{e}$ 是平面向量， $\overrightarrow{e}$ 是单位向量。若非零向量 $\overrightarrow{a}$ 与 $\overrightarrow{e}$ 的夹角为 $\dfrac{\pi}{3}$ ，向量 $\overrightarrow{b}$ 满足 $\overrightarrow{b}^2-4\overrightarrow{e}\cdot \overrightarrow{b}+3=0$ ，则 $\left| \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right|$ 的最小值是（）

A. $\sqrt{3}-1$

B. $\sqrt{3}+1$

C. 2

D. $2-\sqrt{3}$

思路5：如果 $\left( \overrightarrow{a}-\overrightarrow{c} \right) \cdot \left( \overrightarrow{b}-\overrightarrow{c} \right) \leqslant 0$ ，则C在以AB为直径的圆内（含圆周）。

例7. 若 $\overrightarrow{a}$ ， $\overrightarrow{b}$ ， $\overrightarrow{c}$ 均为单位向量，且 $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=0$ ， $\left( \overrightarrow{a}-\overrightarrow{c} \right) \cdot \left( \overrightarrow{b}-\overrightarrow{c} \right) \leqslant 0$ ，则 $\left| \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c} \right|$ 的最大值为（）

A. $\sqrt{2}-1$ B. 1 C. $\sqrt{2}$ D. 2

思路6： 投影。 $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\left| \overrightarrow{a} \right|\cdot \left| \overrightarrow{b} \right|\cdot \cos \theta$ ，表示 $\overrightarrow{a}$ 在 $\overrightarrow{b}$ 上的投影乘以 $\left| \overrightarrow{b} \right|$ ，或者 $\overrightarrow{b}$ 在 $\overrightarrow{a}$ 上的投影乘以 $\left| \overrightarrow{a} \right|$ 。

例8. 如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边 $B_3C_3$ 上有10个不同的点 $P_1,P_2,\cdots ,P_{10}$ ，则 $\sum_{i=1}^{10}{\overrightarrow{AB_2}\cdot \overrightarrow{AP_i}}$ 的值为（）

A. 180 B. $60\sqrt{3}$ C. 45 D. $15\sqrt{3}$

例9. 已知 $\overrightarrow{a}$ ， $\overrightarrow{b}$ 满足 $\left| \overrightarrow{a} \right|=6$ ， $\left| \overrightarrow{b} \right|\leqslant 1$ ，且 $\left| \overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b} \right|\leqslant \dfrac{9}{2}$ ，则 $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}$ 的取值范围是。

对于空间向量的数量积，同样可以理解成投影。比如 $\overrightarrow{a}$ 在 $\overrightarrow{b}$ 上的投影，可以先过A点作AP垂直于某一 $\overrightarrow{b}$ 所在的平面，然后再过点P，在该平面内作OB的垂线。

例10. 已知 $\overrightarrow{e_1}$ ， $\overrightarrow{e_2}$ 是空间单位向量， $\overrightarrow{e_1}\cdot \overrightarrow{e_2}=\dfrac{1}{2}$ ，若空间向量 $\overrightarrow{b}$ 满足 $\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{e_1}=2$ ， $\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{e_2}=\dfrac{5}{2}$ ，且对于任意 $x,y\in R$ ， $\left| \overrightarrow{b}-\left( x\overrightarrow{e_1}+y\overrightarrow{e_2} \right) \right|\geqslant \left| \overrightarrow{b}-\left( x_0\overrightarrow{e_1}+y_0\overrightarrow{e_2} \right) \right|=1$ （ $x_0,y_o\in R$ ），则 $x_0=$ ， $y_0=$ ， $\left| \overrightarrow{b} \right|=$ 。