【精品专题】几何意义解向量题(下)

【精品专题】几何意义解向量题(下)

年级:高一,高二,高三
年份:2020
类型:精品专题
题型:单选题,填空题
难度:★★★★
时长:05:45,06:45
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思路4 如果\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=0,则OA\bot OB。如果\overrightarrow{b}\cdot \left( \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right) =0,则B在以OA为直径的圆上。如果\left( \overrightarrow{a}-\overrightarrow{c} \right) \cdot \left( \overrightarrow{b}-\overrightarrow{c} \right) =0,则C在以AB为直径的圆上。

例6. 已知\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\overrightarrow{e}是平面向量,\overrightarrow{e}是单位向量。若非零向量\overrightarrow{a}\overrightarrow{e}的夹角为\dfrac{\pi}{3},向量\overrightarrow{b}满足\overrightarrow{b}^2-4\overrightarrow{e}\cdot \overrightarrow{b}+3=0,则\left| \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right|的最小值是(   )

A. \sqrt{3}-1

B. \sqrt{3}+1

C. 2

D. 2-\sqrt{3}

思路5:如果\left( \overrightarrow{a}-\overrightarrow{c} \right) \cdot \left( \overrightarrow{b}-\overrightarrow{c} \right) \leqslant 0,则C在以AB为直径的圆内(含圆周)。

例7. 若\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}均为单位向量,且\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=0\left( \overrightarrow{a}-\overrightarrow{c} \right) \cdot \left( \overrightarrow{b}-\overrightarrow{c} \right) \leqslant 0,则\left| \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c} \right|的最大值为(   )

A. \sqrt{2}-1        B. 1        C. \sqrt{2}        D. 2

思路6 投影。\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\left| \overrightarrow{a} \right|\cdot \left| \overrightarrow{b} \right|\cdot \cos \theta,表示\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}上的投影乘以\left| \overrightarrow{b} \right|,或者\overrightarrow{b}\overrightarrow{a}上的投影乘以\left| \overrightarrow{a} \right|

例8. 如图,三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上,边B_3C_3上有10个不同的点P_1,P_2,\cdots ,P_{10},则\sum_{i=1}^{10}{\overrightarrow{AB_2}\cdot \overrightarrow{AP_i}}的值为(   )

A. 180     B. 60\sqrt{3}      C. 45      D. 15\sqrt{3}

例9. 已知\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}满足\left| \overrightarrow{a} \right|=6\left| \overrightarrow{b} \right|\leqslant 1,且\left| \overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b} \right|\leqslant \dfrac{9}{2},则\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}的取值范围是      

对于空间向量的数量积,同样可以理解成投影。比如\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}上的投影,可以先过A点作AP垂直于某一\overrightarrow{b}所在的平面,然后再过点P,在该平面内作OB的垂线。

例10. 已知\overrightarrow{e_1}\overrightarrow{e_2}是空间单位向量,\overrightarrow{e_1}\cdot \overrightarrow{e_2}=\dfrac{1}{2},若空间向量\overrightarrow{b}满足\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{e_1}=2\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{e_2}=\dfrac{5}{2},且对于任意x,y\in R\left| \overrightarrow{b}-\left( x\overrightarrow{e_1}+y\overrightarrow{e_2} \right) \right|\geqslant \left| \overrightarrow{b}-\left( x_0\overrightarrow{e_1}+y_0\overrightarrow{e_2} \right) \right|=1x_0,y_o\in R),则x_0=      y_0=      \left| \overrightarrow{b} \right|=      

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