【精品专题】函数的类周期

函数的周期性指的是，随着自变量的增大，函数值与函数图像每隔一定的距离重复出现的性质。

函数的“类周期”则指的是随着自变量的规律性变化，函数值也出现规律性变化的现象。其中自变量的变化可能是增加或减少某一定值，也可能是放大或缩小特定倍数。

例1. 定义域为 $\mathcal{R}$ 的函数 $f(x)$ 满足 $f(x+2)=2f(x)$ ，当 $x \in [0,2)$ 时， $f\left( x \right) =\left\{ \begin{array}{c} x^2-x,\ \ \ \ \ x\in \left[ 0,1 \right)\\ -\left( \frac{1}{2} \right) ^{\left| x-\frac{3}{2} \right|},\ x\in \left[ 1,2 \right)\\ \end{array} \right.$ 。若当 $x \in [-4,-2)$ 时， $f(x) \ge \dfrac{t^2}{4} -t + \dfrac12$ 恒成立，则实数 $t$ 的取值范围为：（）

A. $[2,3]$ B. $[1,3]$ C. $[1,4]$ D. $[2,4]$

例2. 已知定义在 $\left( 0,+\infty \right)$ 的函数 $f\left( x \right)$ 满足条件：①对任意 $x\in \left( 0,+\infty \right)$ ，恒有 $f\left( 2x \right) =2f\left( x \right)$ 成立；②当 $x\in \left( 1,2 \right]$ 时， $f\left( x \right) =2-x$ 。以下结论正确的有。